Théorème de l'Existence pour initiés
Une simple question de paradigme de la science,
de savoir avec quelle logique faire la science,
de définition des choses et de l'Univers,
de comprendre comment fonctionne l'Univers...

Note : Une version recyclée et simplifiée du présent document est le document "Le Paradoxe Existentiel".

Paradoxe existentiel et Théorème de l'Existence
Trois façons différentes de dire la même Chose...
L'apothéose des quantificateurs
"IL EXISTE des choses qui n'existent pas"
Le rôle de la Négation dans le paradoxe existentiel
De Charybde en Scylla

La Logique dynamique : la fin des paradoxes
La Logique alternative et le Théorème de l'Existence
Le Théorème de l'Ensemble

Thèse pour l'université

Voir aussi :
Théorème de l'Existence, Loi de l'Univers
Le Principe d'Alternation
Science de l'Univers, Science de la Chose
La Science complète
La Théorie universelle des ensembles
La Théorie des univers

Paradoxe existentiel et Théorème de l'Existence

Trois façons différentes de dire la même Chose...

Chose, Existence, Ensemble,
les trois mots clefs de la Science Nouvelle.
trois manières différentes de parler du seul et même Univers;
trois mots différents mais en fait le seul et même mot :
Chose = Existence, Chose = Ensemble, Existence = Ensemble,
autant de manières différentes d'exprimer le Théorème de l'Existence,
de dire : "Toute chose existe", ou "Tout est vrai" ou "Tout est possible".
Il y a bien d'autres manières d'exprimer exactement le même théorème :
"Le contraire de toute vérité est toujours une autre vérité" (Principe d'Alternation);
"L"Univers tout entier est aussi chacune de ses parties, chacun de ses éléments" (Loi de la structure fractale de l'Univers) ;
"0 = 1" (Loi des nombres cycliques);
"Zéro = Infini" ou "Alpha = Oméga" (Loi du Cycle ou Loi de Dieu)

Les trois mots clefs de la Science Nouvelle sont en fait le seul et même mot. Ce ne sont que trois manières différentes de parler du même mot chose. Si par exemple on voit une chose A comme faite de plusieurs autres choses, on l'appellera un ensemble; et les choses qui constituent A sont appelées ses éléments ou ses parties (si on veut mettre en évidence l'idée que les choses qui constituent A sont à leur tour faites d'autres choses du même A). Le langage des choses, c'est aussi le langage des ensembles et vice-versa, c'est le même mot chose vu sous deux angles différents. (pour plus de détails voir Chose, Existence, Ensemble).

L'apothèose des quantificateurs

Toute chose A est un ensemble, étant donné qu'on peut toujours considérer la chose A comme étant un ensemble constitué d'une seule chose, elle-même. Cette simple phrase "Toute chose est un ensemble", qui s'exprime simplement par l'égalité : Chose = Ensemble, est donc un principe universel (c'est-à-dire une loi simple qui s'applique à toutes choses, comme aussi le principe qui consiste à dire que "Toute chose est elle-même"). Comme c'est le cas de tous les principes de la Science Nouvelle, il s'agit à la fois d'une loi de l'Univers, mais aussi d'une simple définition. La définition en question est ici la définition de la notion d'ensemble à partir de celle de chose : "On appelle un ensemble une chose faite d'aucune, d'une, de deux, de plusieurs ou d'une d'une infinité d'autres choses, appelées ses éléments". Et alors on peut toujours considérer une chose donnée A comme étant faite d'au moins une chose, elle-même. Et cette dernière déclaration est aussi triviale que le fait de dire que "Toute chose est elle-même". Toute chose A possède donc de manière triviale les caractéristiques de la notion d'ensemble telle que définie dans la Science Nouvelle, la nouvelle science des ensembles appelée Théorie universelle des ensembles (voir Chose, Existence, Ensemble). Ainsi donc, la phrase "Toute chose est un ensemble" est un théorème trivial que j'appelle le Théorème universel des ensembles, ou Théorème de l'Ensemble.

Ce que j'appelle le Théorème de l'Existence est en fait quelque chose d'aussi trivial que le Théorème de l'Ensemble. Il n'y a rien à comprendre, il n'y a absolument aucune difficulté, car c'est fondamentalement une simple question de définition de la notion d'existence à partir de celle du mot chose, comme je viens de le faire pour la notion d'ensemble. Cette manière d'aborder les choses et les notions s'inscrit dans la lignée de la philosophie analytique (w).

Quantificateur existentiel, introduit par Frege en 1879, mais le symbole par Peano en 1894
Signifie : "IL EXISTE..."

Quantificateur universel, introduit aussi par Frege en 1879, et le symbole par Gentzen en 1934
Signifie : "TOUT..." ou "Pour TOUT..." ou "Quel que soit..."

Un très important outil de la logique et des mathématiques actuelles est le quanticateur existentiel, qui est l'expression "IL EXISTE". C'est ce quantificateur qui sert par exemple à énoncer en théorie des ensembles (w) ce qu'on appelle l'axiome de l'ensemble vide, qui dit : "IL EXISTE un ensemble n'ayant aucun élément". De la même façon, si l'on voulait énoncer l'axiome de l'ensemble plein (ce que je fais mais que l'on ne fait pas actuellement pour cause de paradoxes), on dirait ceci : "IL EXISTE un ensemble ayant tous les ensembles pour éléments".

Ce quantificateur est impliqué dans les raisonnements courants toutes les fois que l'on emploie une expression comme en français "Il y a", comme pour dire "IL Y A des gens qui ne cherchent pas à comprendre." On veut alors dire que ce genre de personnes existent. Le même quantificateur est impliqué dans un mot courant comme "Certains" comme pour dire : "CERTAINES personnes ne cherchent pas à comprendre". Une fois encore on veut dire que ce genre de personnes existent.

"IL EXISTE des choses qui n'existent pas"

Et maintenant, considérons la déclaration apparemment banale et véridique, comme : "CERTAINES choses n'existent pas". On trouve très normal ce genre d'énoncés, car l'on conçoit évidemment que certaines choses existent tandis que d'autres n'existent pas. Et pourtant l'affaire n'est pas aussi simple qu'il n'y paraît à première vue. C'est parce que l'on exprime ce genre d'idées dans un langage flou et ambigu (qui laisse la place à tout et n'importe quoi) qu'elles paraissent véridiques et au-dessus de tout reproche. Quand on remplace les mots vagues par des mots ou outils très précis de la logique issus de la philosophie analytique, il apparaît immédiatement que quelque chose ne va pas, qu'il faut absolument résoudre.

En effet, une phrase apparemment normale comme "CERTAINES choses n'existent pas", exprimée cette fois-ci avec le quantificateur existentiel, dit tout simplement : "IL EXISTE des choses qui n'existent pas". On voit immédiatement qu'il y a un problème avec la notion d'existence, problème que j'appelle le "paradoxe existentiel".

C'est un paradoxe car on se sert du quantificateur existentiel pour faire exister les choses auxquelles on lui applique, pour dire qu'elles possèdent la propriété exprimée dans la seconde partie de la phrase. C'est ainsi que l'on fit exister l'ensemble vide par cette phrase : "IL EXISTE un ensemble n'ayant aucun élément". On fait donc ainsi exister l'ensemble qui a la proriété de n'avoir aucun élément. Si on dit donc : "IL EXISTE des choses qui n'existent pas", on fait donc exister des choses qui doivent avoir la propriété de ne pas exister. Cette phrase est donc fausse quelque part, ce qui rend vrai son contraire, qui dit que "Toute chose existe", énoncé semblabe à "Toute chose est un ensemble" (Théorème de l'Ensemble), et que j'appelle ici le Théorème de l'Existence.

Pour que cette phrase "IL EXISTE des choses qui n'existent pas" soit vraie, on doit résoudre le paradoxe existentiel qu'elle contient. Il faut alors faire très attention aux fausses solutions qui peuvent se présenter comme des évidences, piège dans lequel tombent facilement les personnes trop sûr d'elles et de l'infaillibilité de la logique courante. Elles ont toutes ceci en commun qu'elles n'ont pas mesuré toute la subtilité du problème. Elles ne cernent pas le vrai noeud du problème, qui est simplement Le problème de la Négation !

La question philosophique contenue dans ce paradoxe est simplement celle-ci : Etre une chose, c'est déjà une forme d'existence ! Le degré minimal d'existence est la qualité de chose. Si on dit par exemple que Dieu n'existe pas, le simple fait de parler de Dieu, d'avoir formé ce concept et même simplement le mot, est déjà une forme d'existence de Dieu ! Dieu existe dans les esprits et dans les coeurs de ceux qui croient en son existence ou l'aiment. Il prend forme en ces personnes, il vit en ces personnes, et ce n'est pas rien ! De même, on peut dire que Harry Potter n'existe pas, mais n'est qu'un être imaginaire, une fiction. Mais c'est déjà une forme d'existence, une existence dans les livres, au cinéma, dans l'imagination. Ce qu'on appelle l'"imagination" fait partie l'Univers, et tout ce qui existe dans une partie de l'Univers existe simplement dans l'Univers !

Le Théorème de l'Existence est une chose beaucoup plus profonde que la simple question de pouvoir exister au moins en tant que mot, imagination ou fiction. Car ce qui n'est qu'imagination ou fiction pour un être de l'Univers ne l'est pas forcément pour tous les êtres de l'Univers. Ce qui par exemple n'était qu'imaginaire ou fictif à l'époque de Jules Verne est pourtant réalité aujourd'hui ! La Tour Eiffel ou le TGV sont des réalités pour un français ou un Parisien. Et pourtant ces choses peuvent relever de la fiction pour quelqu'un au fin fond de l'Afrique, à Pagouda. Et réciproquement, bien de choses de l'Univers qui pour lui sont réalités peuvent être incroyables ou imaginaires pour un occidental, qui ne peut pas concevoir que ces choses aussi invraissemblables soient des réalités !

Ainsi donc, toute négation d'existence doit toujours être relative à un contexte donné. Une chose qui n'existe pas ici existe ailleurs. Une chose qui n'est qu'imagination ou fiction ici est réalité ailleurs. Une chose qui n'existe pas sous une forme ici existe sous une autre forme ici, etc. Voilà donc pourquoi la négation absolue de l'existence d'une chose provoque un paradoxe existentiel.

Le rôle de la Négation dans le paradoxe existentiel

Tout le problème du paradoxe existentiel se trouve dans partie de la phrase "n'existent pas". Il n'y aurait aucun problème si on avait dit à la place : "existent", car alors la négation n'y figure plus. C'est en fait la négation qui pose problème dans le célébre Paradoxe du menteur (w), qui est le paradoxe de celui qui dit "Je mens". Ment-il ou dit-il la vérité en disant précisément cette phrase ? Que l'on réfléchisse bien et on verra que si on dit oui, alors c'est non; et si on dit non, alors c'est oui, d'où le paradoxe. Mais on peut constater que le problème ne se pose pas avec la phrase "Je dis la vérité", car la négation (contenue dans le verbe mentir) est alors absente de la phrase. Et alors le problème disparaît du même coup, car sa vraie cause a disparu. C'est exactement le même Problème de la Négation qui se pose dans le Paradoxe de Russell ou Paradoxe du Barbier, qui est la situation suivante : "Le barbier d'un village rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes. Le barbier se rase-t-il lui-même ?" Là encore, en réféchissant, on voit que si on dit oui, alors c'est non; et si on dit non, alors c'est oui. Et ici aussi, problème se trouve dans la partie de l'énoncé : "ne se rasent pas eux-mêmes", qui contient donc la négation. Le problème disparaît comme d'un coup de baguette magique si on la remplace par "se rasent eux-mêmes".

On s'est trompé de diagnostic face aux paradoxes (voir la vidéo Toute la Lumière sur les Paradoxes). On a tout accusé sauf le vrai coupable : la Négation ! C'est la cause de tous les paradoxes et de toutes les contradictions, dont le paradoxe existentiel que je mets ici en évidence. Il se produit parce que la phrase "IL EXISTE des choses qui n'existent pas" se termine par "n'existent pas". Si on la remplace par "existent", alors cela devient "IL EXISTE des choses qui existent", et alors la phrase devient aussi triviale que de dire : "Ce qui existe existe", "A = A", "Toute chose est un ensemble", "Toute chose existe", etc. Toutes ces phrases ont ceci en commun qu'elles ne contiennent pas la moindre trace de négation, donc on ne peut pas avec ce genre de phrases avoir ce va-et-vient entre une chose et sa négation, qui caractérise les paradoxes comme celui du Menteur ou de Russell. Si on veut faire une science où l'on exprime les choses et les contraires des choses, et où ce genre de va-et-vient n'est pas un paradoxe, alors il ne faut plus fonctionner avec la négation mais avec l'alternation, il faut voir l'Univers et les choses en logique alternative, qui caractérise les phénomènes ondulatoires et oscillatoires (ou phénomènes cycliques). Car c'est ce genre de phénomènes qui se manifestent dans les situations que l'on qualifie à tort de paradoxales, parce qu'on raisonne en termes de négation au lieu de raisonner en termes d'alternation.

De Charybde en Scylla

Ainsi donc, même les grands logiciens comme Frege et Russell (qui a découvert le paradoxe qui porte son nom), les pères de la philosophie analytique (dans la continuité de laquelle je me situe aujourd'hui), n'ont pas cerné le problème la négation. Pour eux, la négation n'est qu'un des ingrédients indispensables pour raisonner, en science, en philosophie comme dans le langage courant. Or la négation était l'oeuf pourri dans l'omelette, le champignon vénéneux dans la corbeille de champignons. Ils se sont donc trouvés face à des paradoxes sans en comprendre la vraie nature, et qui sont tout simplement autant de formes différentes du paradoxe existentiel, celui qui se produit aussitôt dès que l'on nie la moindre existence ! La démonstration du Théorème de l'Existence consiste tout simplement à mettre en évidence ce paradoxe existentiel, et surtout à prouver que toute solution de paradoxes qui consiste à nier l'existence d'une chose, consiste tout simplement à éviter ces paradoxes mais à tomber dans le paradoxe existentiel, plus profond, plus caché et plus grave ! Car en fait, les différentes formes du paradoxe existentiel reviennent toutes à dire cette chose grave : "L'Univers n'existe pas" ! C'est donc tomber de Charybde en Scylla...

Théorème de l'Existence (Théorème de Dieu) contre Paradoxe existentiel (Axiome du Diable)

En effet, l'Univers est l'objet le plus dynamique, variable, ondulatoire, oscillatoire, cyclique, alternatif qui soit. Car il contient tout et le contraire de tout, il présente toutes les propriétés et les contraires des mêmes propriétés. Une mauvaise logique (qui raisonne donc avec la négation) qualifie de paradoxale ou de contradictoire cette dualité de l'Univers. Toute forme de paradoxe existentiel revient simplement à dire qu'un objet comme l'Univers ne peut pas exister, ce qui est grave comme affirmation, il faut l'avouer.

Le mathématicien qui étudie les ensembles part de l'idée évidente, triviale, de la vérité zéro, que les ensembles existent ! Sinon il étudie des chimères, il parle de choses qui n'existent pas ! C'est d'ailleurs le rôle d'un axiome comme l'axiome de l'ensemble vide : "IL EXISTE un ensemble n'ayant aucun élément", de garantir l'existence d'au moins un ensemble, à partir duquel on peut démarrer l'étude des ensembles, et surtout aussi construire d'autres ensembles. Et le problème qui se pose maintenant est de savoir s'il existe un ensemble dont les éléments sont tous les ensembles. Il serait alors l'ensemble plein, l'ensemble suprême. Si cette chose n'existe pas, alors se pose une forme du paradoxe existentiel, un paradoxe subtil qui n'a pas inquiété les mathématiciens. En effet, dire qu'un ensemble n'existe pas, c'est dire que lui, toutes ses parties et tous ses éléments, n'existent pas ! Et même dans ce pire des cas, cela veut dire simplement que cet ensemble est vide. Mais même dans ce cas extrême, l'axiome de l'ensemble vide assure que cet ensemble existe !

Dire par exemple que l'ensemble des humains n'existe pas, c'est forcément dire qu'il n'existe aucun humain. Dès qu'il y a un premier humain, alors cet ensemble des humains commence. Et même dans le pire des cas où il n'existe aucun humain, cela signifie simplement que l'ensemble des humains est vide. Et l'axiome de l'ensemble vide garantit l'existence de ce cas extrême, le minimum qu'on puisse avoir en matière d'ensemble.

Et maintenant donc, que conclure si l'on dit que l'ensemble de tous les ensembles (ou l'ensemble plein) n'existe pas ? Tout simplement que les ensembles n'existent pas. Et dans ce pire des cas, l'ensemble de tous les ensembles est tout simplement l'ensemble vide, et l'axiome dit que cet ensemble minimal existe ! Par conséquent, si on dit que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas, alors on est dans un paradoxe, qui est simplement le paradoxe existentiel, tel qu'il se manifeste avec la notion d'ensemble.

C'est dans ce paradoxe que l'on se trouve actuellement, car on dit que l'ensemble plein ne peut pas exister, sinon on tombe dans des paradoxes, comme par exemple le Paradoxe de Russell (voir la vidéo Toute la Lumière sur les Paradoxes). Et c'est vrai. Mais en réalités ces paradoxes sont eux dus à une toute autre chose que l'on ignore, la Négation, qui d'ailleurs est aussi la cause du paradoxe existentiel. Si donc on décalre que l'ensemble plein n'existe pas, on évite les paradoxes comme celui de Russell, mais on tombe mains et pieds joints dans le paradoxe existentiel, beaucoup plus profond, plus fondamental, comme je viens de le montrer. On tombe donc Charybde en Scylla.

La Logique dynamique : la solution à tous les paradoxes

La Logique alternative et le Théorème de l'Existence

Dans la figure précédente, la partie de l'ensemble rouge (Chose ou Univers total) qui n'est pas verte, représente les choses qui n'existent pas. Ce sont elles qui font la différence entre les deux formes de l'Univers que sont Chose et Existence. Pour mieux voir cela, représentons l'Univers en Alternation 2 (ou Cycle 2), c'est-à-dire en modèle "Pile ET Face" ou "Recto ET Verso", où les notions en opposition (les notions contraires ou les deux alternatives) sont "existence" et "non-existence". Autrement dit, dans l'Ensemble de toutes les choses (l'Univers donc), on oppose les choses qui existent (elles constituent l'Existence E) à celles qui n'existent pas (elles constituent le Néant N ou Non-Existence) :

Le Théorème de l'Existence ou le Théorème universel des existences, consiste à dire : U = E ou Chose = Existence; c'est-à-dire "Toute chose existe". C'est ici que réside la différence fondamentale entre le paradigme scientifique actuel et le nouveau paradigme; entre l"actuelle vision de l'Univers et celle de la Science Nouvelle.

Il y a deux manières d'aborder la question du Théorème de l'Existence. La première (que j'ai longtemps privilégiée) est de démontrer dans le cadre du paradigme actuel que ce paradigme est contradictoire (au sens de sa propre conception de la contradiction) et donc qu'il doit changer. Mais le seconde simplement de poser ce théorème en principe, le Principe d'Alternation, et de s'employer plutôt à montrer la supériorité de la science faite avec le nouveau paradigme.

L'Univers est un être PHYSIQUE, DYNAMIQUE ! Or le paradigme actuel fait que la logique dans son ensemble est STATIQUE, quand bien même on a forgé toutes sortes de logiques (la logique floue ou la logique modale par exemple) pour rendre compte des situations de la réalité. Mais ces solutions du "sur mesure" ont leur limite. C'est un changement en profondeur du paradigme qu'il faut, pour que la logique tout entière (y compris celle du langage courant) soit tout simplement une logique physique, dynamique.

Les connecteurs logiques par exemple (NON, ET, OU, etc.), sont des connecteurs physiques et dynamiques et non pas abstraits et staiques. Dire "A ET non-A" peut sembler être une contradiction, si on ne comprend pas que le non a la signification de "sens contraire", de "sens opposé', de "sens négatif", etc., bref de "signe négatif", comme quand on parle d'un mouvement en sens contraire d'un autre. Et le connecteur ET à la signification de "fusion" ou de "compsosition"ou de "combinaison" physique de deux réalités A et B pour produire une troisième, C. L'exemple suivant montre par exemple un objet "Cercle ET Triangle", un objet obtenu en combinant Cercle et Triangle :

 

L'Alternation est le principe même de la Physique de toutes les choses,
le principe du fonctionnement même de l'Univers.
Un Cône de révolution est un exemple d'objet alternatif (c'est-à-dire obéissant à l'Alternation).
Un mouvement de rotation est un mouvement alternatif ;
le Cône peut être décrit comme un Triangle en rotation, qui le génère ainsi par alternation.
Un mouvement de va-et-vient est un mouvement alternatif;
le même Cône peut être décrit comme un Cercle (ou Disque) faisant mouvement vertical de va-et-vient (un mouvement alternatif),
un Disque dont le rayon diminue quant il descend et augment quand il monte.

Si on ne prend en consdération l'aspect physique et dynamique des choses, cela peut sembler contradictoire de parler d'un objet qui puisse à la fois être un Cercle et Triangle (donc un non-Cercle). De la même façon une écriture comme : A non-A ou : Vrai Faux, est contradctoire si on ne voit pas la nature physique (un mouvement de va-et-vient ou un caractère oscillatoire ou alternatif) du connecteur d'équivalence logique :

L'équivalence logique entre deux contraires A et B cesse d'être une contradiction
si on la voit comme un mouvement de va-et-vient entre A et B ou comme une oscillatoire entre A et B.

Une autre très importante notion est associée à cette notion d'oscillation : c'est la symétrie du raisonnement, et de ce fait l'équivalence entre les deux choses A et B , ici entre E et N :

 

Les autres formes du Théorème de l'Existence sont : "Toute chose est vraie" ou "Tout est vrai" (principe d'alternation ou principe de la logique alternative); "Toute chose est possible" ou "Tout est possible" (principe de la possibilité); "Tout est permis" (principe de la liberté ou principe d'Eden (voir L'algorithme d'Eden).

Le Théorème de l'Ensemble

La partie de l'ensemble rouge (Chose ou Univers total) qui n'est pas verte, représente les choses qui ne sont pas des ensembles, puisque la mathématique actuelle pense que tout n'est pas ensemble. Ironie du sort, elle affirme que l'Ensemble de tous les ensembles (ou simplement l'Ensemble), appelé Oméga (ou ) et représenté ici en violet, n'existe pas ! Certains ensembles existent selon elle, comme par exemple l'ensemble vide (noté ), ou l'ensemble des nombres entiers naturels, noté habituellement N. Mais l'ensemble des ensembles (donc l'Ensemble lui-même) n'existe pas !

Le Théorème universel des ensembles ou Théorème de l'Ensemble, dit simplement que l'Univers tout entier est l'Ensemble de toutes les choses, il est l'Ensemble, le TOUT, cela va de soi ! Ce théorème (une autre façon d'exprimer le Théorème de l'Existence), dit donc simplement que : ou : Chose = Ensemble, ou : "Toute chose est un ensemble".

Du Théorème de l'Existence et du Théorème de l'Ensemble on déduit : ou Ensemble = Existence. Sous cette forme, le Théorème de l'Existence dit simplement que "Tout ensemble existe", et donc en particulier que "L'Ensemble plein existe". C'est pourquoi donc cette forme du thèorème peut être qualifiée de Théorème de l'Ensemble plein. La Science de l'Existence, en tant que science des ensembles, est traitée dans les documents La Théorie universelle des ensembles, La Théorie des univers, L'Univers fractal, etc.