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L'Univers TOTAL U
est l'Ensemble de toutes les choses.
IL a une Structure FRACTALE.
IL est le Paradigme d'une nouvelle Science :
la Théorie Universelle des Ensembles,
la Science de l'Univers TOTAL,
l'Univers-DIEU...

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La Négation Absolue: la vraie cause de tous les Paradoxes

La Négation Absolue est la vraie cause des paradoxes de la théorie des ensembles et des sciences en général

Paradoxe de la chose qui est une non-chose:
le Paradoxe le plus fondamental, le paradoxe de la NEGATION ABSOLUE!

Sommaire du sous-titre

La NEGATION ABSOLUE, c'est-à-dire toute idée équivalente à celle-ci: "Certaines choses n'existent pas dans l'Univers"

Univers TOTAL et Univers NON-TOTAL

Les choses qui n'existent pas sont simplement la face cachée de l'Univers TOTAL,
très exactement comme la face cachée de la Lune pour nous terriens.

Le document Problème de la Négation, Paradoxe de la NON-Existence, Théorème de l'Existence présente le problème de la Négation ABSOLUE, montre que cette négation est paradoxale, mais s'applique surtout à analyser la très importante notion d'EXISTENCE à la lumière du nouveau paradigme qu'est l'Univers TOTAL, à démontrer et à expliquer le Théorème de l'Existence, le Théorème de l'Univers TOTAL, etc.

Le présent document s'inscrit dans la continuité de ce document, et traite de la très importante question des PARADOXES. Les paradoxes sont connus depuis l'antiquité, comme par exemple le très vieux et très classique Paradoxe du Menteur. Mais plus récemment, c'est avec la théorie des ensembles introduite par Georg Cantor que l'on a découvert de nombreux et nouveaux paradoxes dans les fondements des mathématiques: Paradoxe de Russell (ou Paradoxe du Barbier), Paradoxe de Burali-Forti (ou Paradoxe du Dernier ordinal), Paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles (ou Paradoxe de l'Ensemble Plein ou Paradoxe du Dernier ensemble), Paradoxe de Richard, etc. (voir la partie traitant de ces paradoxes).

On a attribué ces paradoxes entre autres aux ensembles comme l'Ensemble de tous les ensembles, un ensemble qui est simplement une autre façon de parler de l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Le document Problème de la Négation, Paradoxe de la NON-Existence, Théorème de l'Existence ainsi que le présent document montrent qu'on s'est complètement trompé sur la cause des paradoxes, qui est tout simplement la négation absolue.

Nous entendons par négation absolue le fait de dire que "Certaines choses n'existent pas dans l'Univers" (idée que nous appelons aussi l'Axiome de Non-Existence), que "Certaines choses sont impossibles dans l'Univers", que "Certaines choses ne sont pas vraies dans l'Univers", etc. Pour que la négation soit qualifiée d'absolue, il faut que cette négation porte sur l'Univers tout entier. Et quand c'est le cas, elle cause des paradoxes de toutes sortes, attribués jusqu'ici à tout sauf à elle, la vraie coupable de tous les maux de la science... et de l'humanité.

Le Paradoxe de la Non-chose, le Paradoxe le plus fondamental

Définition de la notion de Chose

"Une chose est tout ce que dont on parle, tout ce que l'on conçoit,
tout ce que l'on désigne par un mot ou par une définition..."
La notion de CHOSE est très fondamentale, raison pour laquelle cette notion est récursive,
ce qui veut dire qu'elle fait directement ou indirectement appel à elle-même pour se définir.
C'est le nom commun le plus général, le mot clef par défaut, à employer avant tout autre mot.
Par conséquent, le simple fait de dire par exemple NON-chose,
c'est automatiquement parler d'une chose ainsi conçue, nommée, définie!
On se trouve alors confrontée à la chose qui est une NON-chose,
qui est tout simplement une forme du Problème de la Négation.
C'est un paradoxe si la négation exprimée par le mot "NON"est absolue,
mais ce n'est pas un paradoxe si la négation est juste relative,
ce qu'elle doit toujours être.
Tout paradoxe, quelqu'il soit, est une forme du Paradoxe de la NON-chose,
qui est tout simplement le Paradoxe de la Négation absolue,
un aspect du Mystère la Négation absolue,

Qu'on le veuille ou non, une langue ou un langage normalement constitué fonctionne d'une manière ou d'une autre avec un certain nom commun conçu comme le plus général, le plus fondamental. C'est le mot clef par défaut, le mot avant tout autre mot, la notion avant toute autre notion. C'est le cas du mot français CHOSE ou du mot anglais THING (pour plus de détails, voir Le mot CHOSE: la clef de la Théorématique, de la Théorie universelle des ensembles, de la Science de l'Univers TOTAL).

Il se pose alors un problème fondamental avec la notion de NON-CHOSE. Or du simple fait de forger un concept, c'est parler d'une chose, et en particulier si le concept en question est celui de... NON-CHOSE! Ce paradoxe fondamental est dû non pas à la notion de chose, mais simplement à la négation, et plus précisément à la négation absolue.

Voici différentes formulations équivalentes de ce paradoxe. Cela permet d'avoir une vision globale du phénomène, de découvrir ses formes, et ensuite nous entrerons dans le vif du sujet du diagnostic du paradoxe de la négation, et nous découvrons la simple solution au problème, qui est: le paradigme de l'Univers TOTAL!

Les formulations du Paradoxe de la non-chose sont présentées en sous-groupes d'équivalence:

- "La chose qui est une non-chose" (Forme standard de la définition de la Non-Chose)
- "La non-chose qui est une chose"

- "Cette chose est une non-chose"
- "Cette non-chose est une chose"

- "Il y a d'un côté les choses et de l'autre côté les non-choses"
   (Forme standard des paradoxes de type Paradoxe Sorite ou Paradoxe de la Frontière ou Paradoxe de la Sépération absolue des choses;
   sans aucun doute la forme la plus courante du Paradoxe de la non-chose)
- "Ici s'arrête la chose et là commence la non-chose"
- "Ici s'arrête la non-chose et là commence la chose"

- "Certaines choses sont des non-choses" (Forme standard de l'Axiome de Non-Chose)
- "Certaines non-choses sont des choses"
- "IL EXISTE au moins une chose qui est une non-chose" (Forme technique de l'Axiome de Non-Chose)
- "IL EXISTE au moins une non-chose qui est une chose"
- "Certaines choses n'existent pas dans l'ensemble de toutes les choses" (Forme explicitée du Déni de l'Univers TOTAL)
- "Certaines choses n'existent pas dans l'Univers TOTAL" (Forme standard du Déni de l'Univers TOTAL)
- "Certaines choses n'existent pas dans l'absolu" (Forme standard de la Négation absolu)
- "Certaines choses n'existent pas" (Forme standard de l'Axiome de Non-Existence)

- "Certaines non-choses existent dans l'ensemble de toutes les choses"
- "Certaines non-choses existent dans l'Univers TOTAL"
- "Certaines non-choses existent dans l'absolu"
- "Certaines non-choses existent"

- "IL EXISTE au moins une chose qui n'existe pas" (Forme technique de l'Axiome de Non-Existence)

L'Univers TOTAL étant par définition l'Ensemble de toutes les choses, l'idée que "Certaines choses n'existent pas dans l'Univers TOTAL" (que nous appelons l'Axiome de Non-Existence) revient à dire que ces choses sont des non-choses, donc à être coupable d'une forme de paradoxe de la non-chose.

La non-chose (en anglais nothing ou no thing) est tout simplement la parfaite définition du mot rien. Et par Vide il faut entendre l'ensemble des non-choses ou l'ensemble des riens. Les mots Rien et Vide sont exactement la même notion, sauf que l'un est la notion en tant qu'élément, et l'autre la même notion en tant qu'ensemble.

Le paradoxe de la non-chose signifie simplement que la négation ne doit pas être absolue mais relative. Cela veut dire que l'on doit doit fonctionner avec une logique, en l'occurrence la Logique Fractale, Alternative, Cyclique, dans laquelle même une non-chose est une chose, c'est-à-dire même le rien est une chose. Exactement comme on dirait: même le zéro (le non-nombre ou la non-quantité) est un nombre.

Alpha et Oméga, Vide et Plein

L'Ensemble Vide et l'Ensemble Plein
dans le paradigme de l'Univers TOTAL, l'Univers FRACTAL.
Dans ce paradigme, on appelle Vide
tout simplement une version infiniment petite du modèle: l'Alpha.
Il est appelé Vide pour dire qu'il est pris comme ensemble de départ,
comme le plus petit des ensembles, l'ensemble Alpha,
et donc que l'on ne considère pas ses propres éléments.
Ceux-ci sont appelés alors les non-choses et aussi les anti-choses.
Mais dans l'absolu ce sont des choses commes les autres.
Le paradoxe de la non-chose signifie que dans l'Univers,
même les non-choses sont aussi des choses!

Le Paradoxe du Menteur, le Paradoxe qui implique directement... la Négation!

Le célèbre Paradoxe du Menteur est le paradoxe de celui qui dit: "Je mens", ou: "Ce que je suis en train de dire est faux", ou encore: "Cette phrase que vous êtes en train de lire est fausse".

Et voici le problème posé par la phrase: "Je mens": si en disant cela, je dis la vérité, alors c'est vrai que je mens, donc cette phrase n'est pas la vérité, donc... je ne mens pas. Mais si je ne mens pas en la prononçant, alors je dis la vérité en la prononçant, donc... c'est vrai que je mens...

On est donc dans un paradoxe, qui peut s'écrire:

Vérité <=> Mensonge

Ou encore:

Vérité <=> Fausseté

Ou plus simplement:

Vrai <=> Faux

Ou de manière encore plus explicite mettant en évidence le rôle de la négation dans l'affaire:

Vrai <=> Non-Vrai

Depuis toujours, quand on s'est trouvé devant un paradoxe, on a cherché des solutions ou la cause, et on a accusé tout sauf le vrai coupable:... la Négation!

Equivalence Vrai et Faux

Le Paradoxe du Menteur est la forme la plus basique des paradoxes de type Paradoxe de Russell.
Ce paradoxe montre directement que c'est la négation qui est en cause dans les paradoxes!
Contrairement à tout ce qu'on a pu dire, il ne signifie pas du tout
que le va-et-vient entre le Vrai et le Faux doit être impossible
mais simplement que l'Univers et les objets de la réalité réclament une négation relative
permettant de prendre en compte les objets que nous qualifions d'alternatifs,
où les situations que nous qualifions d'alternatives,
situations qu'on a pris à tort pour des contradictions!
Les objets alternatifs sont les objets oscillatoires,
qui oscillent entre deux états contraires, comme le sont le Vrai et le Faux.
Ou comme en électronique les états Fermé et Ouvert, Haut et Bas, etc.
Et un objet alternatif, c'est simplement aussi un objet présentant deux aspects contraires,
comme par exemple "Recto" ou "Verso" pour une feuille de papier.
Si l'on appelle une face "Recto" et l'autre "Verso", c'est vrai.
Mais si l'on inverse appelant la seconde "Recto" et la première "Verso",
eh bien... c'est vrai aussi!

Le Paradoxe du Menteur est un paradoxe de logique pure, ce qui veut dire que ne sont concernées dans ce paradoxe que les deux notions de Vrai et Faux. S'il se produit alors un paradoxe, il faut chercher la cause dans ces deux notions. Si ce n'est pas le Vrai qui est le coupable, alors c'est le Faux!

Le Vrai ne peut pas être le fautif pour la raison suivante: Si au lieu de la phrase "Je mens" on avait dit "Je dis la vérité", on a beau tourner la chose comme on veut, on n'aura jamais de paradoxe. La Vérité ou le Vrai ne pose donc aucun problème. C'est donc bien le Mensonge ou le Faux qui pose problème, et plus précisément la négation contenue dans ces mots, qui signifient "Non-Vérité" ou "Non-Vrai".

L'étau s'est donc resserré autour du vrai coupable: la Négation! Mais en fait il existe deux négations: l'absolue et la rélative, ce qu'on ne distinguait pas. La première est la Négation proprement dite, tandis que la seconde est l'Alternation. Elle est comme le mot "Contraire", elle appartient à la famille de mots comme "Opposé", "Inverse", "Symétrique", "Alternative", "Différent", etc.

Si donc la personne avait dit: "Je dis la vérité", il ne peut pas y avoir de paradoxe puisque cette phrase ne contient pas de négation. A la rigueur, elle équivaut à une double négation: "Je ne dis pas le mensonge" ou "Je non-dis le mensonge". Mais les deux négations s'annulent en vertu de la Loi de la Double Négation. Et on a beau la tourner comme on veut, sans négation, la phrase ne peut pas être paradoxale.

Le Paradoxe du Menteur nous fait comprendre simplement ceci: Le Menteur, c'est celui qui incarne la Négation absolue, le Diable pour le dire tout simplement. Ou plus exactement, la Négation absolue est par définition ce qu'il faut appeler le Diable.

Mais quand le Diable dit: "Je suis le Diable", dès cet instant il dit sa première vérité, et alors il se pose un problème: s'il ment comme d'habitude, alors cela veut qu'il n'est pas le Diable, ce qui n'est pas vrai, parce qu'il l'est. Mais s'il dit la vérité, cela signifie qu'il avoue être celui qui ment toujours. Mais justement il ne ment plus en disant cela! Autrement dit, sa négation cesse d'être absolue pour devenir juste relative, une Alternation!

En d'autres termes, loin de constituer un paradoxe comme on l'a pensé jusqu'ici, le "Paradoxe du Menteur" constitue un magnifique premier exemple d'un être alternatif, qui présente deux aspects contraires, ici la Vérité et le Mensonge.

Dans ce genre de situation, on ne raisonne plus en logique binaire mais on passe en logique trinaire, et alors on se rend compte que ce qu'on appelait un paradoxe traduit une autre réalité très banale: le cas du nombre 0!

En logique binaire, la notion de Vrai se dit 1 en terme de nombre et la notion de Faux se dit 0. Mais en logique trinaire, la notion de Vrai se dit +1, la notion de Faux se dit -1, et apparaît une troisème notion, qui est Vrai ET Faux, qui se dit ... 0!

Quand donc un Menteur, qui était absolument négatif (-1), se met à dire la vérité en avouant "Je mens", il n'est plus absolument négatif, mais il commence à devenir positif (+1), et il se trouve dans un état intermédiaire, un état alternatif, qui est le 0. Autrement dit simplement, le nombre 0 est un objet alternatif. Si donc le Paradoxe du Menteur est un vrai paradoxe, alors aussi le nombre 0 est un paradoxe, car c'est sa logique que cet prétendu paradoxe traduit!

Jésus et les Pharisiens, et la Logique Alternative

Et maintenant, pour conclure en beauté notre analyse du Paradoxe du Menteur qui remonte à la nuit des temps et qui est fort riche en enseignements sur le problème de la négation, voici une situation le rôle clef dans la question des paradoxes:

Les adversaires de Jésus de Nazreth, voulant lui clouer le bec lui dirent: "Ouvre la bouche, prononce la moindre phrase: si elle est vraie, alors nous te lapiderons, et si elle est fausse nous te cruciferons."

Et Jésus, connaissant bien le problème de la Négation (le problème du Diable), ouvrit la bouche pour dire à ses adversaires: "Hypocrites, pourquoi me proposez-vous un choix, alors je sais que de toute façon vous finirez par me crucifier?"

Et alors ses adversaires se mirent à réfléchir: "Si nous le crucifions comme il l'a dit, alors il a dit la vérité; et alors selon notre contrat, nous devrions le lapider. Mais si nous nous apprêtons à le lapider, alors sa phrase devient fausse, et donc d'après notre contrat nous devrions le crucifier." Ils se rendent donc compte qu'ils sont pris dans un paradoxe, un paradoxe qu'ils incarnent eux-mêmes tout simplement...

On note tout simplement que pour les mettre devant un paradoxe, Jésus a fait le choix qui correspond au mot "Faux" ou "Non-Vrai", à savoir la crucifixion. Sans ce choix qui contient la négation, s'il avait dit par exemple: "Vous allez me lapider", le choix correspondant au mot "Vrai" donc, ses adversaires n'aurait été dans aucun un paradoxe.

Comme pour le paradoxe de la non-chose, le paradoxe du Menteur montre que la négation est directement la cause du paradoxe du Menteur.

Une vidéo qui fait toute la lumière sur les Paradoxes

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Paradoxe de Russell, Paradoxe de Burali-Forti, Paradoxe de Richard, Paradoxe Sorite, ... :
sont les différentes formes d'un seul Paradoxe fondamental: le Paradoxe qu'EST la Négation ABSOLUE!

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L'Univers TOTAL le contexte par excellence où toute vérité coexiste avec son contraire.

Tous les paradoxes de la théorie des ensembles et des sciences en général ont une seule cause ignorée jusqu'ici: la négation absolue, le fait de dire qu'une chose n'existe pas, n'est pas vrai ou est impossible dans l'Univers (voir L'Axiome de Non-Existence: le plus fondamental et le plus vicieux de tous les paradoxes). Quand une chose est ainsi niée de manière absolue, elle ne laisse la place à la véracité, à la réalité ou à l'existence de son contraire. L'Univers TOTAL le contexte par excellence où toute chose coexiste avec son contraire, toute vérité coexiste avec son contraire. C'est pourquoi une chose comme l'Univers TOTAL ou les ensembles qui sont équivalents à l'Univers TOTAL est l'objet paradoxal par excellence selon la négation absolue. Mais le vrai paradoxe est tout simplement cette négation.

Dans la classique théorie axiomatique des ensembles (celle de Zermelo-Fraenkel ou ZF), un problème (dû à la négation absolue donc) se pose avec l'ensemble de tous les ensembles qui n'est qu'une autre façon de parler de l'Ensemble de toutes les choses, à savoir donc l'Univers TOTAL. Plus indirectement, on a le Paradoxe de Russell (qui concerne l'ensemble de tous les ensembles non-auto-appartenants) ou le Paradoxe de Burali-Forti (qui concerne l'ensemble de tous les ordinaux ou Dernier ordinal).

Le Paradoxe de Russell ou Paradoxe de l'ensemble des ensembles non-auto-appartenants

Le paradoxe de Russell est le problème suivant: "Un ensemble A a pour éléments les ensembles non-auto-appartenants, c'est-à-dire qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes. La question est de sa voir si cet A appartient ou non à lui-même."

Si A appartient à lui-même, alors il est un des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes, puisque par définition il est l'ensemble justement de tels ensembles. Donc il n'appartient pas à lui-même... Mais s'il n'appartient pas à lui-même, il répond exactement à la définition de ses éléments, donc il est l'un d'eux, donc il appartient à lui-même. D'où le paradoxe.

Plus schématiquement, l'ensemble A est défini par l'équivalence logique suivante:

X ∈ A <=> X ∉ X
(lire "X apprtient à A si et seulement si X n'appartient pas à X)

Donc, pour répondre à la question concernant A lui-même, il faut remplacer X par A dans l'équivalence, et cela donne:

A ∈ A <=> A ∉ A
(lire "A apprtient à A si et seulement si A n'appartient pas à A)

C'est donc cela qu'on a appelé le célèbre Paradoxe de Russell. Et un objet mathématique ou scientifique qui donne lieu à ce genre d'équivalence logique entre un énoncé et son contraire est qualifié de paradoxal ou de contradictoire dans la logique scientifique actuelle. Mais le problème est simplement que l'on fonctionne dans des paradigmes trop étroits pour traiter de nombreux objets et situations de l'Univers TOTAL, à commencer par l'Univers TOTAL lui-même. On travaille dans le paradigme de l'Identité, on fait la science avec la négation absolue, on raisonne avec une logique négative, c'est-à-dire qui repose sur le principe de non-contradiction d'Aristote (un mauvais principe de non-contradiction, le bon principe étant la Loi de Séparation et d'Union des contraires).

Equivalence Vrai et Faux

A ∈ A <=> A ∉ A
Un objet ou une situation que l'on dit contradictoire dans le paradigme de l'Identité.
Mais c'est ce que nous appelons un objet alternatif dans le paradigme de l'Equivalence.

C'est dans le paradigme de l'Equivalence qu'il faut faire la science. On travaille alors avec une négation relative que nous appelons l'alternation, et la logique qui y correspond est la surpuissante logique alternative ou logique cyclique. Dans ce paradigme, l'ensemble A est un exemple d'objet que nous appelons un objet alternatif.

Un objet est alternatif:
- s'il présente deux aspects contraires, comme par exemple le côté Pile et Face d'une même pièce de monnaie;
- s'il est un système où il se produit aussi bien les événements que les événements contraires, ce qui est le cas de l'UniversIl pleut par exemple ici et Il ne pleut pas ailleurs, où la Pluie et le Beau temps alternent dans l'espace et dans le temps;
- ou s'il est tout simplement un objet dynamique!

Blanc et Noir, remises en question du Principe du tiers-exclu

Une plaque est un objet alternatif rien que du simple fait
de posséder deux faces contraires qui sont le Recto et le Verso,
qui en logique binaire peuvent s'interpréter comme Vrai et Faux.
Elle est encore plus alternative si les deux faces sont de couleurs contraires Blanche et Noire.
Et elle encore, encore plus alternative si elle tourne,
nous présentant alternativement la face Blanche et Noire.
Le dynamisme peut alors simplement se décrire ainsi:
"Si Blanche alors Noire, et si Noire alors Blanche". ou : Blanche <=> Noire
Et à la question concernant la plaque en situation dynamique: "Quelle est la couleur de la plaque?"
on doit répondre Grise ou Blanche ET Noire, ce qui évidemment peut s'interpréter comme Vrai ET Faux.
Cette situation n'est en rien contradictoire, mais la contradiction est au contraire du côté de la logique
qui dans ses principes ou axiomes déclare impossible ce genre de situation.
Cette logique est très peu adéquats pour traiter de l'Univers et de ses réalités.

Voici maintenant un très important autre exemple d'objet alternatif: que l'on regarde le très pédagogique Triangle de Sierpinski, une structure fractale. Il a une logique qui est tout simplement l'une des infinités de solutions (les vraies!) au prétendu Paradoxe de Russell:

On a ici deux versions du seul et même Triangle de Sierpinski appelé A, le grand (vert) et le petit (rouge). A appartient à lui-même au sens de l'Equivalence (conception très large de l'égalité très fondamentale en logique fractale ou cyclique), car le grand modèle et le petit modèle sont équivalents. Mais A n'appartient à lui-même au sens de l'Identité (conception très restreinte de l'égalité, la conception actuelle, étroitement associée au problème de la négation absolue), car que ce soit le petit modèle ou le grand modèle, il n'est pas plus petit que lui-même, mais juste identique à lui-même. Autrement dit, il n'y a pas de version du petit modèle (comme aussi du grand modèle) qui soit strictement à l'intérieur de lui-même. Il existe des modèles strictement à l'intérieur, mais ils sont évidemment plus petits. Si donc l'on ne raisonne qu'en terme d'Identité, seule la non-appartenance est vraie ici, donc c'est un paradoxe de dire que l'apprtenance est vraie aussi. Mais si l'on raisonne en terme d'équivalence, les deux deviennent vrais.

C'est l'un des exemples qui montre que c'est l'étroitesse du paradigme (celui de l'identité) qui engendre le paradoxe, et non pas le fait que d'un point de vue logique les deux contraires ne peuvent pas être vrais. Il existe tout à fait des logiques (ici la logique fractale) où les deux contraires sont vrais sans qu'il y ait le moindre paradoxe. Autrement dit, la négation "A N'APPARTIENT PAS...", "A N'EXISTE PAS...", et plus généralement tout simplement "A N'EST PAS...", est absolue dans le paradigme de l'Identité, car il n'existe aucune possibilité que son contraire "A APPARTIENT...", "A EXISTE...", "A EST...", soit vraie aussi. Mais dans la paradigme de l'Equivalence, cette alternative existe toujours, ce qui fait que la négation est juste relative.

Une forme populaire du Paradoxe de Russell est le Paradoxe du barbier: "Le barbier d'un village nommé Antoine (abrégé A) rase tous les hommes du villages qui ne se rasent pas eux-mêmes. Est-ce que ce barbier A se rase à lui-même?"

Ici aussi, un raisonnement simple permet de voir que si si l'on dit oui, alors on doit dire non, et si l'on dit non, alors on doit dire oui. Comme pour le Triangle de Siperpinski où le problème est simplement résolu en considérant deux rôles ou deux versions du même objet qui entretiennent entre elles une relation d'équivalence (chaque version ne pouvant entretenir qu'une relation d'identité avec elle-même), ici aussi il faut simplement distinguer deux rôles du même Antoine: le barbier et le citoyen ordinaire du village. En tant que citoyen, il ne se rase pas lui-même mais a besoin du barbier, et en tant que barbier il se rase pas lui-même. Cela n'est pas paradoxal au sens d'une impossibilité logique, mais cela est paradoxal au sens simplement que deux aspects contraires se trouvent réunis dans une même personne ou dans une même chose.

On peut en tant que citoyen payer certains frais comme tout le monde, enregistrés par le service adéquat (par exemple le frais de carburant payés à la station service), mais en tant que privilégié se voir rembourser ces frais par un autre service (son patron, les services fiscaux ou autre). Donc on paie, et finalement on ne paie pas. On ne paie pas, mais finalement on paie.

Contrairement à la manière dont les choses ont été conçues jusqu'ici et en particulier à la manière dont la logique fut pratiquée, une équivalence logique entre un énoncé et son contraire n'est pas nécessairement un paradoxe, ou le fait qu'une chose et son contraire soient vraies toutes les deux!

Pour reprendre la situation d'Antoine le barbier du village, ajoutons le problème suivant: Antoine a l'habitude de jouer aux échecs seul, c'est-à-dire contre un aversaire qui est lui-même. Il joue son coup avec les blancs, puis passe de l'autre côté de l'échiquer pour jouer son coup avec les noirs, etc. Et Antoine dit: "Si je gagne la partie, alors je perds la partie; et si perds la partie, alors je gagne la partie". Voilà une sitation qui est un paradoxe de type Russell si l'on raisonne avec logique l'identité seule. Mais ici comme dans les autres exemple, il y a un objet qui a deux rôles ou deux versions, qui entretiennent de ce fait une relation d'équivalence. Au sens de l'identité il est impossible de gagner et de perdre en même temps, mais au sens de l'équivalence c'est possible: on gagne sous un rôle, et on perd de ce fait sous l'autre rôle et vice-versa.

Le Paradoxe de Burali-Forti ou Paradoxe de l'Ensemble de tous les ordinaux ou Paradoxe du Dernier ordinal

Le Paradoxe de Burali-Forti est celui de l'ensemble de tous les ordinaux. Un ordinal (dans la conception classique de la notion, car cette notion, comme celle de cardinal, se simplifie considéralement dans le paradigme de l'Univers TOTAL) est la généralisation de la notion d'entier naturel. Dans la conception classique ( le paradigme de l'Identité), un ordinal est non-auto-appartenant (il n'est pas élément de lui-même), ce qui complique inutilement les choses. Mais il est à la fois auto-appartenant et non-auto-appartenant dans le paradigme de l'Equivalence (exactement comme la fractale de Sierpinski vue ci-dessus), ce qui simplifie considérabement les choses.

Dans la conception classique, pour un ordinal α (lire "alpha minuscule"), on a donc seulement cette vérité:
α ∉ α (à lire donc "α n'est pas un élément de α")

Et dans la conception classique comme dans la nouvelle, l'ensemble de tous les ordinaux, appelons-le ω (lire "oméga minuscule"), doit être lui-même un ordinal, et alors il est le plus grand de tous, le dernier, puisqu'il est leur ensemble.

Mais c'est là où le problème se pose avec la conception classique, le paradigme de l'Identité. Ce qui pose problème est exactement qu'il soit un ordinal. En effet, étant l'ensemble de tous les ordinaux, il est donc un élément de lui-même (ω ∈ ω), puisqu'il est aussi un ordinal. Or il est interdit dans la conception classique des ordinaux qu'un ordinal soit élément de lui-même, il doit obéir uniquement à la loi α ∉ α, c'est-à-dire donc ω ∉ ω. D'où le paradoxe de Burali-Forti.

En réalité, ce paradoxe n'est rien d'autre que le Paradoxe de Russell. C'est parce qu'on fonctionne dans un paradigme ou les notions d'ensemble et d'ordinaux sont séparés (c'est-à-dire où un ordinal est un ensemble mais où un ensemble n'est pas forcément un ordinal) que les deux problèmes apparaissent comme différents. Sinon, ce problème en réalité le même que celui de l'ensemble des ensembles non-auto-appartenants, c'est-à-dire le Paradoxe de Russell. C'est le paradigme de le paradigme de l'Equivalence qui permet de découvrir que les ensembles non-auto-appartenants dont on parle dans le Paradoxe de Russell sont les ordinaux.

Nous avons posé le problème et donné sa solution en même temps. Il faut tout simplement raisonner dans le paradigme de l'Equivalence ou de la Structure fractale, et le problème est résolu, comme nous l'avons illustré dans le diagramme au début de ce sous-titre. ce diagramme montre ω élément de lui-même au sens de l'équivalence. Il ne l'est pas au sens de l'identité seule mais l'est au sens de l'équivalence. Non seulement cela, la logique fractale montre l'équivalence "0 = ω", qui veut dire que le Premier ordinal ou le Vide est aussi le Dernier ordinal ou le Plein. L'Algèbre de l'Equivalence (ou Algèbre de la Structure Fractale ou Algèbre du Cycle) est infiniment plus puissance et plus féconde que l'actuelle Algèbre de l'Identité.

Le Paradoxe Sorite ou Paradoxe de X et Non-X ou Paradoxe de la Ségrégation ou Paradoxe de la Frontière

La Padaoxe Sorite ou Paradoxe de X et Non-X est l'un des paradoxes les plus basiques de la négation absolue mais aussi l'un des plus néfastes dans la société, car la vision du monde en terme de X et Non-X est le fondement même des choses comme la ségrégation, l'une des manifestations les plus basiques de la psyché de Négation.

Le problème est simple: "Si l'on considère que 10 est un petit nombre et que Lhorizon 3 (1010 000 000 000 ou "10 puissance 10 000 000 000" ou le nombre écrit avec 1 et dix milliards de zéros derrière) est un grand nombre, alors où s'arrêtent les petits nombres et où commencent les grands? Plus généralement, étant donnée une notions quelconque X, où s'arrête le X et où commence le Non X? Ce type de problème ne se pose plus en Logique alternative ou la vérité est graduée.

En Logique négative, où l'on ne raisonne pas en termes d'équivalence mais toujours en termes d'identité, on ne dit donc jamais des choses comme 0 = 1, qui sont pourtant de simples vérités exprimées par le Cercle.

Dans cette logique aussi, quel que soit le nombre entier naturel n considéré, on dira toujours de la phrase "n est INFINI" (que nous notions "ω = n") qu'elle est FAUSSE, sans autre forme de procès. On dira donc que "10 est INFINI" est faux, que "100 est INFINI" est faux, que "1000 est INFINI" est faux, que "10 000 000 000 est INFINI" est faux, etc.

Or, au fur et à mesure que le nombre n considéré est grand (donc "tend vers l'INFINI" comme on dit actuellement), la phrase "ω = n" (c'est-à-dire "n est INFINI") est évidemment de moins en moins fausse et de plus en plus vraie! C'est ainsi que l'on voit les choses dans le nouveau paradigme.

En Logique alternative donc, on dit simplement que la fausseté de la phrase "ω = n" (ou "n est INFINI") est très exactement de 1/n et que sa véracité est de 1 - 1/n ou (n - 1)/n.

Ainsi:
- "ω = 10" (ou "10 est INFINI") est fausse à 1/10 et vraie à 9/10.
- "ω = 100" (ou "100 est INFINI") est fausse à 1/100 et vraie à 99/100.
- "ω = 1000" (ou "1000 est INFINI") est fausse à 1/1000 et vraie à 999/1000.
- "ω = 10 000 000 000" (ou "10 000 000 000 est INFINI") est fausse à 1/10 000 000 000 et vraie à 9 999 999 999/10 000 000 000.
- Et ainsi de suite..

Et maintenant, considérons comme définition de l'INFINI ω le nombre:
Lhorizon 3 = 10Lhorizon 2 = 1010 000 000 000
ou "10 puissance 10 000 000 000", c'est-à-dire le nombre écrit avec 1 suivi de dix milliards de zéros!
Là, la fausseté de la définition est:
1/ω = 1/Lhorizon 3 = 0. 000 000 000 000...
et sa véracité est par conséquent de:
1 - 1/Lhorizon 3 = 0.9 999 999 999 999.... Bref, il faut avoir le courage de mettre tous les 0 et tous les 9!

On peut donc déjà considérer Lhorizon 3 comme une bonne définition de l'INFINI, à plus forte raison Lhorizon 4, Lhorizon 7, Lhorizon 1000, Lhorizon 10000000000000000!

Moralité: la notion d'INIFINI n'avait pas besoin d'être autre chose qu'un nombre fini, mais AUSSI GRAND QUE L'ON VEUT!. C'est la simple et bonne définition de l'Inini dans la Science de l'Univers TOTAL. C'est nous qui décidons si telle définition ou telle autre est satisfaisante ou non. Tout dépend de ce que l'on veut faire. Et à chaque définition correspond une erreur mesurée avec une grand précision, qui est d'autant plus faible que le nombre choisi est plus grand.

Le paradoxe Sorite se cache dans nombre de concepts des mathématiques et des sciences actuelles, considérés pourtant comme des vérités absolues.

Par exemple, il est établi que le nombre pi ou π est un nombre irrationnel, donc la phrase "π est rationnel" ou "π est une fraction est toujours fausse. C'est donc le problème Sorite ici (le problème X et Non-X) sous la forme de la séparation entre Rationnel et Non-Rationnel. Mais en Logique alternative, la question est plus nuancée que cela, exactement pour les raisons présentée ci-dessus.

Il suffit par exemple de mettre à 0 toutes les décimales de π à 0 à partir de la Lhorizon 1000 ème décimale pour obtenir un nombre rationnel q tel que la fausseté de la phrase "π = q est quasi nulle donc sa véracité quasiment 1! L'erreur est en effet de l'ordre de ε = 1 / Lhorizon 1000. Dans le paradigme de l'équivalence où l'on dit 0 = 1, on dit à plus forte raison: 0 = ε! Dans ce paradigme, la phrase "π = q est tout simplement vraie, π est un rationnel!

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