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L'Univers TOTAL U
est l'Ensemble de toutes les choses.
IL a une Structure FRACTALE.
IL est le Paradigme d'une nouvelle Science :
la Théorie Universelle des Ensembles,
la Science de l'Univers TOTAL,
l'Univers-DIEU...

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Nombres Cycliques, Algèbre Fractale, Algèbre Universelle

Algèbre FRACTAL ou Algèbre du Cycle: la nouvelle Théorie des NOMBRES, l'Algèbre de l'Univers TOTAL, l'Algèbre de la nouvelle Physique

L'Univers TOTAL: le VRAI paradigme des nombres. Théorie numérique des ensembles

Equivalence, Cycle, Fractale, Ensemble Physique, Générescence:
les secrets de l'Univers TOTAL, la vraie nature des NOMBRES!

L'Univers TOTAL, le vrai paradigme des NOMBRES

Cliquez sur l'image ou ici pour regarder la vidéo: L'Algèbre du Cycle,
qui explique la nouvelle définition des nombres dans le paradigme du Cycle et de l'Equivalence,
mais aussi comment désormais on calcule et on résout les équations dans ce paradigme.

Que sont ces choses que nous appelons les NOMBRES? On voit généralement les nombres comme des choses abstraites, des choses purement mentales, ou encore comme des objets du langage pour dire: "un humain", "deux enfants", "trois lapins", "cinq secondes", "six mètres", "sept kilogrammes", "huit dizaines", "huit centaines", etc.

Mais ces exemples qu'on vient de donner suffisent largement pour comprendre que les NOMBRES, c'est bien plus que ce que l'on croit habituellement que c'est. Par exemple, voici une simple chose à laquelle on n'a sans doute jamais pensé: tous ces exemples mentionnés obéissent exactement au même modèle: "N x u", à savoir la multiplication de ce qu'on appelle habituellement un nombre par une unité, qui est humain, lapin, mètre, kilogramme, dizaine, centaine. Et on notera avec grand intérêt que ces deux dernières unités sont tout simplement des nombres, à savoir 10 et 100. Tous ces cas nous montrent donc qu'on multiplie un nombre par un humain ou un lapin, exactement comme on le multiplie par 10 ou par 100, sans aucune distinction!

Il reste maintenant à comprendre simplement que si l'on peut multiplifier un nombre par un humain comme on multiplie ce nombre par un autre nombre, ou si l'on peut dire: 1 humain + 1 humain = 2 humains, exactement comme on dirait en algèbre: 1 X + 1 X = 2 X, c'est tout simplement parce qu'un humain.. est un NOMBRE!

Nous voulons tout simplement faire comprendre aujourd'hui cette vérité que le paradigme de l'Univers apporte:
"Toute chose est un nombre"!
Et la version informatique de la même vérité est celle-ci:
"Toute chose est une information"!

Quand un nombre est petit ou quand l'information qu'il constitue est simple, nous l'appelons: trois, douze, cent, mille, etc., et en général dans les langues nous ne disons pas: un trois, un douze, un cent, un mille, etc. (et pourtant on pourrait le dire). Et quand le nombre est plus grand, nous disons: un million, un milliard, comme nous disons donc un arbre, une montagne. Quand le nombre est plus grand ou quand l'information est plus complexe, nous disons: un mètre, une seconde, un kilogramme, un joule, etc. et là nous entrons dans le domaine des unités ou des nombres de la physique. Et quand le nombre est très grand ou l'information très complexe, on dit un lapin, un humain, une planète, une galaxie, un univers, etc.

Ce qu'il faut comprendre aujourd'hui, c'est que dans tous les cas, nous parlons des NOMBRES! Le numéro hors série du magazine Science & Vie Junior mentionné plus haut avait raison de titrer: "Les NOMBRES, ils possèdent les secrets de l'Univers". Il en est ainsi tout simplement parce que tout dans l'Univers, y compris l'Univers lui-même, est un NOMBRE!

La notion d'ensemble dont il est maintenant question avec l'Univers TOTAL est celle d'ensemble physique (voir La Théorie universelle des ensembles, Théorie physique des ensembles, nouvelle Science de la Matière, Générescence et Structure FRACTALE). C'est le paradigme de la générescence et de la structure fractale, de l'Equivalence, du Cycle. C'est la vraie nature des nombres.

La Générescence de l'Univers TOTAL, les Ordinaux et les Cardinaux.
Le Système de Numération Unaire, la Théorie générescente des nombres

La notion d'ordinal et de cardinal dans le paradigme de l'Univers TOTAL

U Générescence illustrée par un Triangle de Sierpinski

La structure fractale est le paradigme d'une nouvelle algèbre,
l'algèbre de l'Equivalence, de la Générescence ou de la Structure Fractale,
dans laquelle on peut dire: U = UUU, c'est-à-dire U = 3U, donc 0 = U,
sans que cela signifie que U est 0 au sens de l'ontologie de l'Identité.
C'est tout simplement aussi l'Algèbre du Cycle, dans laquelle on peut dire 0 = 1,
là encore sans que 1 soit obligé d'être nul au sens de l'Identité.

L'Univers TOTAL, U, l'Ensemble de toutes les choses, a structure générescente et fractale, La structure générescente la plus fondamentale de l'Univers TOTAL peut s'écrire:
...UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU...

--> D'un point de vue de la physique (voir Théorie physique des ensembles, nouvelle Science de la Matière et Physique Quantique de l'Univers TOTAL, la Physique du TOUT), cela veut dire tout simplement que toutes les choses de l'Univers TOTAL U sont physiquement constituées d'un seul constituant élémentaire qui n'est autre que l'Univers TOTAL lui-même, U!

--> D'un point de vue informatique, cela veut dire que toutes les choses sont des informations unaires, c'est-à-dire des informations constituées par une seule information élémentaire, U, ou appelé l'Unit (par comparaison à Bit pour l'information binaire). Une information unaire est appelée une générescence (pour plus de détails, voir Générescence et Structure FRACTALE et Générescence et codage de toutes choses et Le Verba, le Langage Informatique de l'Univers TOTAL)

Les générescences sont donc: U, UU, UUU, UUUU, UUUUU,.... Ainsi donc, U est la plus petite information qu'on puisse définir, qui est aussi en même temps la plus grande information, à savoir l'Univers TOTAL!

--> Et d'un point de vue mathématique, cela veut dire que toutes les choses sont des nombres qui s'écrivent dans un système de numération unaire, d'un seul chiffre: U, qu'on peut aussi noter 0 et appelé Zéro ou Alpha, mais avec la grande nouveauté que ce nombre initial désigne l'Univers TOTAL, appelé aussi Infini ou Oméga! Alors les nombres sont donc: U, UU, UUU, UUUU, UUUUU,... ou 0, 00, 000, 0000, 00000, .... De là on déduit les deux conceptions fondamentales de nombre: les ordinaux et les cardinaux.

L'Univers TOTAL, les Ordinaux et les Cardinaux Linéaires

Une générescence possède deux aspects fondamentaux très liés,
qui sont deux manières différentes de dire simplement la même chose,
à savoir l'aspect ORDINAL et l'aspect CARDINAL.

Avec l'aspect ordinal, on s'intéresse essentiellement à l'ORDRE des Units dans la générescence, leur position, leur rang. De ce point de vue, on parle seulement de Premier (ou numéro Un) ou Alpha, de Deuxième (ou numéro Deux), de Troisième (ou numéro Trois), etc., et de Dernier (ou numéro Infini) ou Oméga.

On notera que du point de vue strictement ordinal (donc où l'on parle seulement d'ORDRE et non pas de QUANTITÉ, le Dernier d'une séquence (c'est-à-dire d'un ensemble quelconque de choses disposées en ordre ou considérées dans un ordre), est appelé l'Infini, et ce peu importe la quantité (ou le nombre au sens cardinal du terme) de choses concernées dans la séquence: zéro (au sens cardinal du terme), une, deux, trois, etc., infini (là aussi au sens cardinal du terme).

Donc d'un point de vue seulement ordinal, 4 par exemple ou n'importe quel nombre entier naturel est un nombre infini, et ceci est fondamental dans la notion de Cycle, un autre aspect crucial de la générescence. Et d'un point de vue ordinal, on ignore les nombres 0.5 (ou 0.5 ème) 1/3 (ou 1/3 ème), -2.7 (ou -2.7 ème), etc. car on ne parle que choses entières, on ne connaît que les nombres entiers, parce que l'ordre est de nature qualitative et non pas quantitative!

Quand on dit par exemple "deux humains" (ou "premier et deuxième humain"), on ne se préoccupe pas de savoir si l'un des humains est un adulte de 100 kilos et que l'autre est un enfants de 5 kilos, mais on les compte tous les deux comme unité à part entière, et pour cela il suffit qu'ils possèdent la qualité réquise pour être ainsi comptés.

Ici, les choses dont on s'intéresse fondamentalement à l'ORDRE dans un premier temps puis à la QUANTITÉ dans un second temps, sont simplement les Units d'une générescence, les unités U! La notion cardinal (donc de nombre en tant que quantité) intervient donc quand on COMPTE les Units, quand on exprime la QUANTITÉ d'information qu'est une générescence donnée. Par exemple, la quantité d'information de la générescence UUUU est 4, car elle compte fondamentalement quatre Units.

C'est ici qu'intervient une autre notion importante: à savoir si l'on commence le comptage des Units avec le Premier (ou Alpha), ou si l'on commence avec le Deuxième! Dans le premier cas, on compte en disant simplement: 1, 2, 3, 4, 5, ..., et alors le Zéro est l'Avant-Premier du point de vue ordinal, et il a le sens de Vide, de Rien, de Néant, etc. Nous convenons alors de dire qu'on fait un comptage ordinal, car, intuitivement et naturellement, nous exprimons l'ordre en disant Premier (ou numéro Un), Deuxième (ou numéro Deux), etc. et en général pas en disant Zéroième (ou numéro Zéro), bien que rien n'interdise de la dire. Mais l'usage naturel est de commencer par le Premier (ou numéro Un)...

Mais dans le second cas, on compte en disant simplement: 0, 1, 2, 3, 4, ..., et alors le Zéro est le Premier du point de vue ordinal, et il a le sens d'Origine, de Référence, etc. Nous convenons alors de dire qu'on fait un comptage cardinal, car, là aussi naturellement et intuitivement, nous exprimons les quantités en ayant conscience du cas particulier où il n'y a rien à compter, et où nous disons "Vide", "Rien" ou "Néant". Mais seulement, historiquement, l'humain a eu des difficultés psychologiques à concevoir que ce "Vide" doit être aussi un nombre à par entière qui doit intervenir dans la numération et dans les calculs. Le cardinal Zéro était conçu intuitivement, mais traduit en écriture numérique que laborieusement.

Le Zéro ordinal (Ø ou O) et l'Infini ordinal (Ω ou W). Le Zéro cardinal (0) et l'Infini cardinal (ω)

La notion cardinale d'Infini est très simple aussi quand on s'appuie sur la générescence. L'Infini, actuellement appelé Infini dénombrable mais que nous appelons aussi Infini défini (ou même Infini-fini!) et qui est habituemment noté ω (ou Oméga), est le tout simplement le nombre des éléments de l'ensemble N des entiers naturels: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....

C'est tout simplement aussi le nombre d'Units de la générescence infinie notée: UUUUUUU..., le symbole "...", que nous appelons le GENER indique simplement la séquence des Units se poursuit indéfiniment, qu'elle est aussi grande et aussi longue que l'on veut, mais tout en restant toujours FINIE! Autrement dit, le nombres des Units de cette générescence est toujours un certain entier naturel!

On ne s'en rendait pas compe, mais la Logique classique (et plus généralement la Logique Négative) avec laquelle on a raisonné et fait les mathématiques et les sciences jusqu'ici faisait que ces sciences, quand bien même elles sont réputées exactes comme les mathématiques, cachaient dans leurs fondements de profonds paradoxes, que l'on a cru à tort avoir résolu lors de la crise des fondements des mathématiques survenue au début du XXème siècle.

La Logique Négative (entre autres la Logique classique), la logique du "Tout ou Rien" est resposable de nombreux paradoxes, tout simplement parce que cette logique à elle seule ne suffit pas pour nous faire accéder à toute la vérité scientifique, à toutes la diversité et la subtilité des choses dans l'Univers. Parmi les nombreux paradoxes dont le paradigme de la Négation (ou, ce qui revient au même, de l'Identité) est responsable, il y a le Paradoxe Sorite, qu'on peut appeler le paradoxe de la logique du Tout ou Rien. Autrement dit, cette logique devient paradoxale quand elle est appliquée à des situations où il ne faut pas raisonner en termes de Tout ou Rien mais dans une logique supérieure ou plus fine, une autre logique que cette logique grossière habituelle, qui n'est pas faite pour ces cas-là.

Exemples simples: Avoir un seul poil au menton, ce n'est pas être barbu. Mais en avoir des millions et des millions, c'est être barbu. Alors à partir de quel nombre de poils exactement on cesse d'être imberbe pour devenir barbu? De même, avoir un seul cheveu sur le crâne ce n'est pas encore être chevelu mais c'est être chauve. Avec des millions et des millions de cheveux on est chevelu. Et alors à partir de quel nombre exactement de cheveux on passe de l'état de chauve à l'état contraire de chevelu? Si l'on raisonne en terme de Tout ou Rien (comme on le fait habituellement), en terme de chauve ou de non-chauve, etc. (comme on le fait dans la Logique Négative ou la logique binaire), on est ici dans un cas typique de Paradoxe Sorite.

Ce Paradoxe se ramène tout simplement aux problèmes suivants, qui implique les nombres ou les ordinaux: Si l'on convient par exemple que 1 est un nombre entier naturel petit et qu'en revanche 1010 000 000 000 ou "10 puissance dix milliards" (nombre que nous appelons Lhorizon 3) est un entier naturel grand (à plus fortes raisons les nombres infiniment plus monstrueux et au-delà de tout entendement comme Lhorizon 7, Lhorizon 1000, Lhorizon 1000000000, ..., etc.), alors la simple question est de savoir à partir de quel nombre exactement on cesse d'être dans le domaine des petits nombres et que l'on rentre dans le domaine des grands nombres. Et c'est exactement la même question qui se pose quand il s'agit de savoir à partir de quand exactement un nombre cesse d'être fini pour devenir infini.

La Logique Négative conduit à une théorie des ordinaux et des cardinaux dans laquelle les nombres entiers naturels sont tous appelés des nombres "finis", donc aussi des nombres monstrueux comme par exemple Lhorizon 3 ou Lhorizon 10000000000000000000, ce qui est une aberration!

Tout le problème est dans cette écriture qui illustre la logique de la classique théorie des ordinaux:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., ω, ω+1, ω+2, ω+3, ...}
Comme on le voit, avec des pattes de "super-kangourous", on "saute" étrangement du domaine du fini (auquel appartient l'ordinal 7 par exemple), pour commencer à entrer dans le domaine des ordinaux et des cardinaux infinis, le premier d'entre eux étant Aleph zéro, habituellement appelé Oméga et noté ω. Pour arriver donc à ω, on "saute" la zone des "trois points", zone indiquée par le symbole habituel "..." que nous appelons le GENER. Sauter le GENER est facile à dire qu'à faire! On le fait aisément quand on nage dans la pure abstraction et quand on ne se rend pas bien compte de ce que l'on fait et des paradoxes qui peuvent se cacher dans la pratique des mathématiques et des sciences.

On dit alors par exemple que ce premier ordinal (et cardinal) ω, qui ouvre la porte du royaume de l'infini, n'a pas de prédécesseur, car son prédécesseur, ω-1 donc, serait dans le domaine des finis, ce qui par voie de conséquent entraîne que ω est lui-même fini, car ajouter 1 à un nombre fini, c'est avoir un nouveau nombre fini. C'est tout simplement un Paradoxe Sorite (ici le Paradoxe Fini-Infini) dû simplement au fait que l'on raisonne en Logique Négative, la logique du Tout ou Rien, qui est ici inappropriée pour la question du Fini-Infini (voir aussi Le Problème de l'Infini).

Toutes les questions de l'Univers ne se traitent pas en terme de Tout ou Rien, de Vrai ou Faux, de Blanc ou Noir, de Oui ou Non. Cette logique est faite uniquement pour trancher quand il faut trancher et savoir si oui ou non on va faire un troisième enfant, si l'on ira ou non demain à la foire de Lille, si oui ou non on va acheter le dernier ordinateur, si oui ou non on va bâtir la science sur le paradigme de l'Univers TOTAL, etc. Mais les questions scientifiques ou relatives à l'Univers ne se traitent pas toutes en ces termes-là, loin de là! Beaucoup de questions appellent une logique nuancée, au moins à trois valeurs de vérité (par exemple, Vrai, Faux et Neutre). Et beaucoup d'autres réclament tout simplement une logique dont la valeur de vérité Vrai est graduée de 0 (ou 0%) à 1 (ou 100%).

Par exemple, à la question de savoir si le nombre 2 est le dernier nombre entier naturel (donc le plus grand, l'infini, etc.), la Logique Négative habituelle dégainera la réponse "Non!", plus vite que son ombre, à la vitesse de l'éclair, sans autre forme de procès! Et à la question de savoir si 3 est le dernier nombre entier naturel, ce sera toujours le même "Non!" catégorique. Pareil pour 10, pour 1000, pour 10000000000000, pour 1010 000 000 000, etc. A chaque fois la Logique Négative dira "No!", ou "Niet!", ou "Nada!", ou "Walou!", ou "Kpèdè!", et ce sans appel! Cette logique grossière du Tout ou Rien ne tient pas compte du fait évident que le nombre dont on parle évolue, et donc que la question évolue aussi, de même que la réponse qu'elle appelle, qui doit être nuancée!

Et maintenant, avec la Logique Alternative, on découvre que, aussi étonnant que cela puisse paraître, l'idée que 2 est le dernier nombre entier naturel n'est fausse que de 1/2 (ou 50%) donc vraie à 1/2 (ou 50%)! Et l'idée que 3 est le dernier nombre entier naturel n'est fausse que de 1/3 (ou 33%) donc vraie à 2/3 (ou 67%)! Avec 10 on passe à 1/10 (ou 10%) pour le faux et à 9/10 (ou 90%) pour le vrai! Etc. Et alors, éclairée par cette logique fine, la vérité mathématique change du tout au tout, et des paradoxes très cachés et très vicieux ignorés actuellement apparaissent (voir aussi par exemple Le Paradoxe de la Variable et d'autres diables de ce genre très cachés au fin fond de la pratique scientifique actuelle).

Par exemple aussi, la question de savoir si oui ou non le nombre π est un nombre rationnel (une fraction), malgré la réponse apparemment juste qu'apporte la Logique classique (elle dit que π est irrationnel), cette réponse est pourtant "fausse" quand on raisonne maintenant en Logique Alternative. "Fausse" en ce sens que la valeur de vérité de la phrase "π est irrationnel" est quasi nulle, elle est infinitésimale, elle tend vers 0 ou 0%, tandis que bien au contraire, c'est la valeur de vérité de son contraire, "π est rationnel" qui tend vers 1 ou 100%! Qui l'eût cru? Comme quoi... (pour plus de détails, voir le sous-titre Dans le paradigme de Cycle, tout nombre réel est un nombre rationnel et plus généralement le soust-tire Dans le paradigme du Cycle, tout nombre réel est un nombre entier naturel!).

Ne sous-estimons surtout pas le potentiel des nombres entiers naturels! N'allons pas chercher d'autres notions d'infinis que celle qu'ils contiennent déjà, et comment! Des nombres infinis plus féconds, dont les propriétés sont plus riches, plus extraordinaires, justement parce qu'ils cumulent aussi toutes les qualités des nombres finis! Un cheval volant qui peut faire tout ce que peut faire un cheval mais qui peut voler aussi comme un oiseau, est infiniment plus intéressant qu'un cheval qui ne vole pas ou qu'un oiseau qui ne peut pas courir comme un cheval!

Ainsi en est-il des nombres infinis qui sont finis aussi, ou des nombres finis qui sont aussi infinis!
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., ω, ω+1, ω+2, ω+3, ...}
Il ne faut pas "sauter" le GENER (les "trois points" ou "...") comme des sauvages pour aller vers des nombres infinis dont l'arithmétique devient très pauvre pour cette raison-là (parce qu'il leur manque de très précieuses propriétés de l'arthmétique du fini). Mais il faut prendre le temps d'examiner la zone du GENER et les extraordinaires nombres entiers de transition qu'ils cachent, ceux qui mettent fin au Paradoxe Sorite, ceux qui font le pont entre le royaume des finis et celui des infinis.

Il suffit de prendre en considération des nombres phénoménaux comme Lhorizon 3, Lhorizon 7, Lhorizon 1000, Lhorizon 1000000000, ..., etc. mais aussi le fait (c'est très important!) que pour un tel nombre entier gigantesque ω donné, la phrase "ω est le dernier ordinal" ou "ω est le dernier nombre entier" ou encore "ω est l'infini", n'est fausse que de 1/ω, et elle est vraie à (ω-1)/ω ou 1 - 1/ω! Que demande le peuple?

En langage plus classique, la fausseté de la phrase "ω est le dernier ordinal" ou "ω est l'infini" tend vers "Zéro" quand le nombre entier naturel ω dont on parle tend justement vers... l'"Infini"! Evidemment! Si cette simplement vérité (que l'on doit maintenant à la Logique Alternative et à sa finesse) est maintenant comprise, alors on a compris aussi qu'il n'existe fondamentalement qu'un seul Infini, celui qui mesure le cardinal, le nombre ou la quantité des éléments de l'ensemble des entiers naturels. Toute autre notion d'Infini n'est qu'un aspect de cet Infini fondamental, une manière plus ou moins déguisée de parler du même être fondamental. Pour comprendre pourquoi, il suffit de regarder une structure fractale comme par exemple celle très pédagogique de Sierpinski (à ce propos voir le sous-titre La Structure Fractale, l'Equivalence, le Cycle, le Dernier Ordinal et l'Infini)

Ce cardinal de l'ensemble des entiers naturels est à la fois Infini et Fini. Une vérité difficile à appréhender dans le très restreint paradigme actuel de l'Identité, mais qui devient chose très simple et très banale dès qu'on travaille très confortablement dans le nouveau paradigme de l'Equivalence, du Cycle (ici étudié), de la Générescence et de la Structure Fractale, bref de l'Univers TOTAL (voir aussi Le Problème de l'Infini)!

Cette vérité s'exprime par la simple équivalence: 0 = ω, qui est l'expression générale du Cycle. Elle signifie que le Premier ordinal est aussi le Dernier ordinal, et que l'un comme l'autre désigne le seul et même Univers TOTAL, le seul et même Ensemble de toutes les choses! Cette vérité peut s'écrire aussi: 1 = ω+1, ce qui signifie alors que l'on commence à compter les Units de la générescence en disant "Un" et non pas "Zéro".

Et alors, de même qu'on parle d'"Avant-Premier" pour parler du "Zéro ordinal", il faut maintenant parler exactement de la même façon de la très étrange notion d'"Après-Dernier", qui n'est pas plus paradoxal que de parler d'"Avant-Premier". Il suffit maintenant de comprendre que ce sont simplement des notions du paradigme et du langage du Cycle, et que dans ce langage, il existe toujours un avant-commencement qui est la fin du cycle d'avant, et qu'il existe aussi toujours un après-fin qui est le début du cycle d'après. Il n'y a donc plus de mystères ou de difficultés quand on raisonne dans les bons paradigmes.

Et maintenant, de même qu'on a inventé le mot "Zéro" ou "0" pour parler de ce qui est avant le "Premier" ou le "Un" ou "1", il faut maintenant aussi inventer un mot pour parler de "ω+1", ce qui est donc après le "Dernier" ou l'"Oméga" ou "ω". Je ne me casse pas la tête, je l'appelle l'"Omégun", ce qui veut dire que c'est un nouveau "Un", mais après l'"Oméga", donc dans le nouveau cycle qui commence.

L'Alpha, l'Uni et l'Oméga

Les deux notions de Zéro, associées respectivement à deux notions d'Infini.
Au sens ordinal, le Zéro et l'Infini signifient simplement Premier et Dernier,
et ce peu importe le nombre de choses dans la séquence où l'on parle de Premier et de Dernier!
Ce sens ordinal des deux notions est absolu, il est général, simplement qualitatif.
Et au sens cardinal, le Zéro signifie 1/Oméga ou 1/ω.
Il dépend alors du nombre entier ω pris comme Infini,
et plus ce nombre est grand et plus vraies sont les notions respectives d'Infini et de Zéro!

Au sens le plus général du terme, une générescence est appelée un univers,
car une générescence est une chose constituée d'une seule chose fondamentale qui est l'Univers TOTAL, U.
Et alors dans ce cas la quantité d'Units de la générescence est tout simplement Infini cardinal, l'Oméga (ou ω).
Et alors 1/ω (le Zéro cardinal) est appelé aussi
la résolution de l'univers ou de la générescence
(au sens informatique du terme, et on parle alors aussi de Pixel),
ou la finesse de l'univers ou son paramètre de structure fine
(et là on voit la question plutôt du point de vue de la physique).

Ainsi donc, nous avons deux notions de nombres (ou deux manières de voir la même notion de nombre), les ordinaux et les cardinaux, deux manières de considérer les générescences: d'abord du point de vue qualitatif qui est simplement l'ordre et la séquence des Units ou unités d'information; et ensuite d'un point de vue quantitatif qui est donc la mesure de la quantité des Units, la quantité d'information (qui est aussi la quantité de matière si l'on voit la question d'une point de vue de la nouvelle physique quantique).

Il en résulte aussi entre autres deux notions du Zéro et de l'Infini. D'abord le Zéro ordinal appelé l'Avant-Premier ou l'Avant-Numéro-Un, etc. Il est appelé le Zéro de position dans le numération, comme par exemple dans "2011" ou dans 0110001110. Il est de nature essentiellement INFORMATIQUE, il est avant tout une information, et en cela il est potentiellement aussi 1, A, U, ou tout ce que veut comme symbole.

Par exemple, pour coder l'infomrmation avec deux informations de base, on peut faire le choix de A et B, et alors l'information 0110001110 s'écrit ABBAAABBBA. Et si l'on fait le choix de U et V, alors la même information s'écrit UVVUUUVVVU. Et si l'on fait le choix de 1 et 2, alors la même information est 1221112221. On ne fait donc fondamentalement aucune différence entre 0, 1, A ou U, en tant qu'information, ou quand c'est pour exprimer l'ordre, la position, etc.

Il en exactement de même pour la notion d'Infini ordinal, qui veut dire simplement Dernier, peu importe si c'est le dernier dans une séquence de deux choses, de trois, de quatre, etc. Ainsi, en parlant par exemple de la générescence UUUU, l'infini au sens ordinal du terme est 4.

Pour se fixer les idées, il faut voir le Zéro ordinal non pas comme le nombre 0 mais comme la lettre O, au même titre que les lettres A ou U. C'est donc juste une unité d'information. Très souvent le mot Alpha dans notre langage désignera ce Zéro-là. En tant qu'ensemble ou le Premier Ordinal dans le Langage universel des ensembles, il est noté Ø et il est appelé aussi l'Ensemble Vide. Mais alors dans ce cas il faut comprendre le Premier ensemble (celui qui sert à construire les autres) et non pas un ensemble vide dans l'absolu, qui n'a aucun élément (au sens cardinal des mots "vide" ou "aucun"). Il est "vide" en ce sens qu'on ne considère pas ses propres éléments, mais on commence tout par cet ensemble, bref il est l'Alpha.

De la même façon, il faut voir l'Infini ordinal non pas comme l'infini de l'analyse, quand on dit par exemple que "la limite de 1/X quand X tend vers 0 est l'infini" mais là aussi comme une lettre, W ou même encore U. Très souvent aussi le mot Oméga désignera cet Infini-là. En tant qu'ensemble ou le Dernier Ordinal dans le Langage universel des ensembles, il est noté Ω et il est appelé aussi l'Ensemble Plein. Mais alors dans ce cas il faut comprendre le Dernier ensemble (celui qui est constitué par tous les autres), et non pas "plein" en ce sens qu'au-delà de lui aucun autre élément n'existe.

En effet, quand on regarde une structure fractale (comme par exemple la Fractale de Sierpinski présentée plus loin dans l'examen du Paradoxe du Dernier Ordinal), elle est l'Ensemble Plein ou Oméga. Et au-delà d'elle il existe des éléments qui sont de nouvelles versions des éléments de l'ensemble. Et de même, le modèle choisi comme Ensemble Vide ou Alpha possèdent d'autres versions des mêmes éléments que l'Ensemble Plein, ce qui veut dire que le Vide et le Plein sont équivalents.

C'est parce qu'on ne travaillait pas dans le paradigme de l'Univers TOTAL (qui est aussi le paradigme de l'Equivalence) qu'on s'est heurté à des paradoxes comme le Paradoxe de Burali-Forti ou Paradoxe du Dernier ordinal (dont on reparlera plus loin), qui n'est autre que le problème de l'Ensemble Plein.

Ceci dit, le problème n'est pas tant de distinguer outre mesure les notions ordinales des notions cardinales, car ces deux aspects de la générescence ne sont donc que deux manières différentes de parler de la même chose. Mais le vrai problème est de ne pas travailler dans le paradigme de l'Univers TOTAL. Dans le nouveau paradigme, la théorie des ordinaux et des cardinaux (et au-delà toute la théorie des nombres) se simplifie considérablement. De nombreux problèmes épinueux de l'actuelle théorie des ensembles et de tout l'ensemble des mathématiques (comme la très vieille question de la division par 0, le Paradoxe du Dernier ordinal, l'affaire de l'Axiome du choix, les casse-têtes de l'Hypothèse du continu, la dite impossibilité de mettre en bijection l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres entiers naturels, les grille-neurones de la théorie des grands cardinaux ou des cardinaux inaccessibles, la dite impossibilité de trouver des nombres réels solutions de l'équation X2 + 1 = 0, etc., etc., etc.) ne se posent plus. Car en fait c'était de faux problèmes, dus aux paradigmes de la Négation et de l'Identité dans lesquels on travaille (voir aussi Le Problème de l'Infini).

Les Ordinaux et les Cardinaux Linéaires

Dans le paradigme de l'Univers TOTAL, le paradigme de l'Equivalence et du Cycle, les nombres ordinaux et les nombres cardinaux sont des cycles. Cela veut dire tout simplement que la bonne représentation des nombres n'est pas de les placer sur une Droite mais sur un Cercle. Sauf justement si cette Droite est définie comme un Cercle de rayon infini.

Quand on dispose les ordinaux et les cardinaux sur une Droite, la situation est alors comme le vieux problème des poteaux et des intervalles. Les ordinaux sont à interpréter comme le nombre de poteaux (parce que l'on commence alors par "Un" ou "Premier"), et les cardinaux à interpréter comme le nombre des intervalles correspondants (parce que l'on commence par "Zéro"):
1 poteau: 0 intervalle
2 poteaux: 1 intervalle
3 poteaux: 2 intervalles
4 poteaux: 3 intervalles
Etc.

Définition générescente des ordinaux (ici les numéros d'ordre) et des cardinaux (ici les nombres entiers naturels) :

1: U = 0
2: UU = 1
3: UUU = 2
4: UUUU = 3
5: UUUUU = 4
6: UUUUUU = 5
7: UUUUUUU = 6
...

La définition des ordinaux et des cardinaux est indépendante de la chose choisie pour servir d'Unit:

1: 0 = 0
2: 00 = 1
3: 000 = 2
4: 0000 = 3
5: 00000 = 4
6: 000000 = 5
7: 0000000 = 6
...

1: X = 0
2: XX = 1
3: XXX = 2
4: XXXX = 3
5: XXXXX = 4
6: XXXXXX = 5
7: XXXXXXX = 6
...

1: ω = 0
2: ωω = 1
3: ωωω = 2
4: ωωωω = 3
5: ωωωωω = 4
6: ωωωωωω = 5
7: ωωωωωωω = 6
...

Les Ordinaux et les Cardinaux Cycliques

Le paradigme de l'Univers TOTAL, on l'a dit, est le paradigme de l'Equivalence. Cela veut dire que la nouvelle conception de l'Egalité n'est plus la très étroite l'Identité mais l'Equivalence. Quand maintenant on écrit une égalité "X = Y", cela ne veut plus dire que X et Y sont strictement la même chose (au sens de l'Identité) mais que X et Y sont la même chose d'un certain point de vue, à préciser si ce n'est pas évident.

Par exemple, un homme nommé X et une femme nommée Y ne sont pas strictement la même chose, mais les deux sont équivalents du point de vue de leur appartenance commune à l'ensemble des humains. De ce point de vue, on a donc "X = Y".

Par exemple aussi, les nombres: -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ne sont sont pas strictement la même chose, mais ce sont des multiples de 3. Ils sont équivalents de ce point de vue, et on écrit donc:
-9 = -6 = -3 = 0 = 3 = 6 = 9
Cette équivalence est que nous appelons le Cycle 3, et elle est définie par la seule donnée de l'équivalence "0 = 3" ou aussi "1 = 4" ou "2 = 5", etc. Cette équivalence ou ce cycle, c'est tout simplement la définition du nombre 3 comme nombre cyclique. Ce cycle, en termes de générescence est donc l'équivalence suivante:
U = UUUU ou UU = UUUUU

Ainsi donc le Cycle 1 est l'équivalence:
0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = ...
c'est-à-dire donc l'équivalence entre tous les nombres entiers naturels, équivalence qui s'écrit en terme de générescence: U = UU = UUU = UUUU = UUUUU = ...

Générescences, Cycles et Ondes

Générescences, Cycles et Ondes (Vibration des "Cordes").
A chaque générescence est associé un ensemble de cycles qui sont autant de types d'ondes.
Chaque cycle est une fréquence donnée,
par exemple le Cycle signifie 3 périodes par unité, ou 3 sous-cycles du Cycle 1.
Le reste est une affaire de propriétés mathématiques des nombres.
C'est ce qui fait la différence entre une chose et une autre dans l'Univers TOTAL.
Au stade le plus fondamental, toute la physique est de la mathématique et de l'informatique pure!
A ce stade, on ne sépare plus ces domaines, car ils sont un seul et même domaine.
Autrement dit, au stade le plus fondamental, toute chose est un nombre, une information!
On ne se demande plus: "Quelle chose existe dans l'Univers et quelle chose n'existe pas",
car on ne se demande pas: "Quel nombre existe et quel nombre n'existe pas"!
(Voir le Théorème de l'Existence)

Quand on dispose les nombres non plus sur une Droite mais sur un Cercle, le nombre de poteaux est exactement aussi le nombre d'intervalles, ce qui veut dire que les notions d'ordinal et de cardinal deviennent la même notion. Autrement dit, avec les nombres cycliques, on ne distingue plus fondamentalement les ordinaux et les cardinaux.

La Structure Fractale, l'Equivalence, le Cycle, les Horizons (les très grands nombres), le Dernier Ordinal et l'Infini

Le Paradoxe de Burali-Forti ou paradoxe du Dernier Ordinal: un faux paradoxe, un problème dû à de mauvais paradigmes et la Négation absolue

L'Univers TOTAL et la question du Dernier Ordinal

Comment la structure fractale montre très simplement
l'équivalence entre le premier et le dernier ordinal:
Alpha = Omega ou 0 = ω.
Une équivalence entre l'Infiniment petit et l'Infiniment grand,
entre le Vide et le Plein, entre le Zéro et l'Infini.

Dans les théories axiomatiques des ensembles actuelles (comme par exemple celle de Zermelo-Fraenkel nommée ZF), on travaille avec l'Ensemble Vide mais sans l'Ensemble Plein! On travaille avec un Premier Ordinal, qui est justement l'Ensemble Vide, appelé le Zéro, mais sans Dernier Ordinal, car celui-ci provoque un paradoxe, nommé le Paradoxe de Burali-Forti

Mais en réalité, ces paradoxes et d'autres sont simplement dus au fait qu'on fait la science dans le très étroit paradigme de l'Identité au lieu du très large paradigme de l'Equivalence, ou, ce qui revient au même, on raisonne aved la négation absolue. Les nombres, et en particulier le Dernier Ordinal réclament tout simplement le paradigme l'Univers TOTAL, l'Univers FRACTAL, le paradigme de l'Equivalence. Dans ce paradigme, le Premier Ordinal est aussi le Dernier Ordinal. Les deux sont équivalents:
Ensemble Vide = Ensemble Plein, ou : Ø = Ω ou : 0 = ω ou: Alpha = Omega (pour plus de détails sur la question, voir l'analyse du Paradoxe de Russell et du Paradoxe de Burali-Forti).

La notion d'INFINI dans le paradigme de l'Equivalence et du Cycle

Comme vu plus haut dans la présentation générale de la notion d'ordinal et de cardinal, on appelle nombre entier INFINI ou Oméga, et on le note ω, tout simplement la générescence UUUUUUU..., où l'Unit U est répété indéfiniment. Numériquement, cela revient simplement à dire:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

De très nombreuses notions sont simplement des facettes d'une seule et même notion, celle d'INFINI. Certaines notions (comme par exemple les notions de Variable, d'Equivalence, de Cycle, etc.) n'ont apparemment aucun lien avec celle d'Infini, et pourtant on parle bien de la même chose.

Dans le nouveau paradigme, les phrases suivantes sont équivalentes:

a) ω est la générescence UUUUUUU...;
b) ω est le Dernier Ordinal ;
c) ω est le nombre entier naturel plus grand que lui-même;
d) ω est le nombre entier naturel infini;
e) ω est un nombre entier naturel aussi grand que l'on veut;
f) ω est un nombre entier naturel indéfiniment grand, ce qui signifie que tout en restant un nombre entier naturel, il est toujours supérieur à tout entier naturel fixé à l'avance. On dit aussi qu'il est un infini dynamique;
g) ω est le cycle d'un nombre entier naturel W donné; ce cycle s'écrit alors: 0 = W ou ω = W. Autrement dit simplement, ω est le cycle W; il signifie que l'on répète indéfiniment ce cycle:
0 = W = 2W = 3W = 4W = 5W = ....
Le nombre W est appelé l'Infini du cycle et le nombre 1/W est appelé le Zéro du cycle;
h) ω est le nombre entier naturel variable (au sens le plus général) ou entier natuel variable supérieur ou égal à un nombre entier naturel très grand Z fixé à l'avance, comme par exemple Lhorizon 3 ou Zhon (au sens plus restreint, qui signifie donc "nombre entier variable très grand");
L'équivalence: ω = Z est appelée une définition de l'Infini.
Le nombre 1/Z est appelé un Epsilon ou Zéro défini ou un Infiniment petit. Il est appelé aussi l'erreur ou la fausseté de la définition,
et le nombre 1 - 1/Z ou (Z - 1)/Z est appelé la véracité de la définition;
- Etc.

La dernière forme de la notion d'Infini, h), est particulièrement importante. Cette conception de l'Infini traduit le fait courant et pratique selon lequel nous considérons un nombre comme INFINI quand il est suffisamment grand de notre point de vue. Pour l'un, 1000 c'est déjà l'Infini. Pour un autre, 1000 est riquiqui comme Infini, et qu'à partir de 1000000 ou un million, on peut commencer à parler d'Infini. Pour un autre encore, cette notion commence à partir de un milliard, et pour un autre à partir de un milliard de milliards de milliards, etc. Et nous pouvons convenir que 101000 (ou "10 puissance 1000" ou le nombre décimal écrit avec 1 suivi de mille zéros) est terriblement grand (et il l'est!), au-delà de notre entendement (et c'est le cas!), si grand donc qu'à partir de là nous pouvons à bon droit parler d'Infini! A plus forte raison si le nombre considéré est 1010 000 000 000 ou "10 puissance dix milliards" ou le nombre décimal écrit avec 1 suivi de dix milliards de zéros... Courage pour écrire tout ça, et surtout pour compter jusqu'à ce nombre!

Ce nombre est ce que nous appelons Lhorizon 3 ou le Zhon (prononocer "Jonne"; voir ci-après). Son inverse, 1/Zhon, nous l'appelons le Shon (prononocer "Chonne"). Le Zhon est donc un nombre infiniment grand et son inverse le Shon est un nombre infiniment petit. Et c'est plus vrai encore avec Lhorizon 4, de Lhorizon 5, etc.!

Les nombres comme Lhorizon 3 ou Zhon, et plus généralement tout nombre Infiniment grand, oui les nombres comme Lhorizon 77, Lhorizon 1000, Lhorizon 1000000, etc., jouent un rôle extrêmement important dans l'Univers, en très étroite relation avec la notion de générescence et de structure fractale, avec la notion information unaire, le matériau fondamental de l'Univers! Leur importance est immense en physique, et en particulier en physique quantique! Et pourtant, cette importance a été ignorée jusqu'ici.

La preuve: dans les mathématiques actuelles qui fonctionnent avec la Logique clasique (mais ce que nous appelons une Logique Négative), une logique tranchée, grossière, pour tout entier naturel Z donné, la phrase "Z est l'Infini" ou, ce qui revient au même, l'égalité "1/Z = 0" sera considérée comme toujours fausse, sans autre forme de procès, sans aucune nuance! Or il est évident que la fausseté en question de la phrase n'est pas du tout la même chose si le Z dont on parle est 10 que s'il est 1000000000, Dans une logique plus fine, plus nuancée, la fausseté est de 1/10 pour 10 (donc la véracité de 9/10), et la fausseté est de 1/1000000000 (0.000000001) pour 1000000000 et la véracité de 999999999/1000000000 (ou 0.999999999).

Donc cette phrase dite seulement fausse en Logique classique, est ce qu'il faut appeler une phrase pratiquement vraie ou pragmatiquement vraie! A plus forte raison si le nombre Z est 101000 et plus encore si l'on parle d'un nombre titanesque comme Lhorizon 3 ou Zhon! Dire qu'il est infini c'est dire une phrase dont la fausseté est de 0.0000... Courage pour écrire tous les 0 avant de mettre la dernière décimale qui est 1! Et la véracité de cette phrase est de 0.9999.... Et là encore, courage pour aligner tous les 9!

Et puis, n'oublions surtout pas que nous sommes maintenant dans le paradigme de l'équivalence et du cycle, le paradigme où l'on dit désormais 0 = 1, 0 = 1, 0 = 2, etc. Il faudra vite s'y habituer, mettre au plaquard les vieux mécanismes du paradigme de l'identité, et acquérir les nouveaux automatismes de raisonnement! Dans le nouveau paradigme, on dit donc 0 = 1, et à plus forte raison 0 = 0.00000.... De même on ne pinaille plus pour dire 0.9999999.... = 1, et donc que la véracité de l'idée que Lhorizon 3 est infini est tout simplement 1! Une égalité comme 0.9999999.... = 1 n'est pas une approximation avec une "marge d'erreur faible", au sens actuel des termes. Mais il s'agit tout simplement de vérités du paradigme du cycle et de l'équivalence.

Pour généraliser tout ce que nous venons d'expliquer, disons simplement que l'équivalence entre l'infini absolu, ω et l'infini grand Z, à savoir donc ω = Z, est d'importance capitale dans le nouveau paradigme. A cette équivalence est donc associée une valeur de vérité et de fausseté (ou d'erreur), qui sont respectivement (Z - 1)/Z et 1/Z. Comme nous l'avons déjà dit, il ne s'agit pas d'une "erreur" ou d'une "incertitude" aux sens négatifs actuels de ces termes, mais des notions positives, celles de l'équivalence et du cycle, celle de la Logique Alternative, dans laquelle la vérité est graduelle, nuancée et très fine, et non pas grossière, tranchée.

Une erreur parfaitement définie, maîtrisée, faite en connaissance de cause, n'est plus une erreur! Une fausseté parfaitement intégrée comme une chose normale n'est plus une fausseté. Un dérapage parfaitement contrôlé, qui fait partie du scénario comme un cascadeur au cinéma, n'est plus un dérapage. Un aléatoire parfaitement calculé n'est plus un aléatoire, un hasard parfaitement déterniné n'est plus un hasard. Un mal qui fait partie intégrante du programme du bien n'est plus un mal. Une négation absolue qui fait désormais partie de l'alternation n'est plus une négation absolue. Un rien qui désormais n'est pas que rien mais est toujours quelque chose, eh bien n'est pas que rien, et on peut donc désormais faire des choses très intéressantes avec ce rien-là, des choses miraculeuses! Un zéro qui désormais n'est pas que zéro mais est désormais toujours une quantité, eh bien, n'est pas que zéro, donc désormais on peut diviser par zéro, et on entre dans une nouvelle dimension! Un infini qui n'est plus indéfini mais parfaitement défini par une équivalence de la forme ω = Z, cet infini, eh bien, n'est plus indéfini... Et ça change tou! Etc.

Les nombres Horizons: les nombres entiers naturels à la fois FINIS et INFINIS!
Les nombres Infiniment grands et Infiniment petits.
Le nombre Zhon ou Lhorizon 3, et son inverse le Shon...

Définissions maintenant des nombres extraordinairement grands, qui vont très vite dépasser notre entendement dès les tous premiers d’entre eux, comme par exemple Lhorizon 3 dont nous avons déjà parlé plus haut. Ce sont donc les infiniment grands.

On définit les nombres Lhorizon de la manière suivante:

Lhorizon 0 = 1

Lhorizon 1 = 101 = 10

Ce nombre s’obtient en écrivant 1 suivi d’un nombre de zéros indiqué par Lhorizon 0 donc 1 suivi d’un zéro, ce qui donne donc 10 ou « dix puissance 1 ».

Lhorizon 2 = 10Lhorizon 1 = 1010 = 10 000 000 000

Il est obtenu en écrivant 1 suivi d’un nombre de zéros indiqué par Lhorizon 1 donc 1 suivi de dix zéros, ce qui donne donc 10 000 000 000 ou dix milliards, qui est le nombre « 10 puissance 10 ».

Lhorizon 3 = 10Lhorizon 2 = 1010 000 000 000.
ce nombre, nous l'appelons le Zhon (prononcer "Jonne"). L'inverse du Zhon, le nombre 1/Zhon, nous l'appelons le Shon (prononcer "Chonne"). Le Shon est donc 10-10 000 000 000. Ce nombre consiste à écrire dix milliards de zéros, à mettre une virgule après le premier et à écrire 1 après le dernier. Autrement dit, il est de la forme 0.000000...0001, avec dix milliards de chiffres après la virgule, le dernier chiffre étant 1 et les autres étant des 0.

Et pour un nombre entier n quelconque, on a:
Lhorizon (n + 1) = 10Lhorizon n
qui est donc le nombre qui s'écrit avec 1 suivi d'un nombre de zéros donné par Lhorizon n.

Le dernier Lhorizon est Lhorizon ω. Il obéit donc à la formule finale:
Lhorizon (ω + 1) = 10Lhorizon ω

Il faut maintenant préciser que le mot Lhorizon est constitué du mot Horizon et de la lettre L indiquant qu'on travaille en base 10. La table des bases est la suivante:

Alphabet cyclique du Verba, ABECIDO linéaire

Les bases sont les consonnes issues de l'ABECIDO, l'Alphabet cyclique du Verba, un Alphabet 40.
A part les bases spéciales O, U et Z, une consonne en tant que base
est son numéro d'ordre divisé par 2 (car il est pair) auquel on ajoute 1.
Ainsi par exemple, le L est la lettre 18. Donc, comme base, on a L = 18/2 + 1 = 10.

Ainsi, pour base B ou 2:
Bhorizon 0 = 20 = 1
Bhorizon 1 = 2Bhorizon 0 = 21 = 2
Bhorizon 2 = 2Bhorizon 1 = 22 = 4
Bhorizon 3 = 2Bhorizon 2 = 24 = 16
Bhorizon 4 = 2Bhorizon 3 = 216 = 65 536
Etc.

Pour base C ou 3:
Chorizon 0 = 30 = 1
Chorizon 1 = 3Chorizon 0 = 31 = 3
Chorizon 2 = 3Chorizon 1 = 33 = 27
Chorizon 3 = 3Chorizon 2 = 327 = 7 625 597 484 987
Etc.

Pour base D ou 4:
Dhorizon 0 = 40 = 1
Dhorizon 1 = 4Dhorizon 0 = 41 = 4
Dhorizon 2 = 4Dhorizon 1 = 44 = 256
Dhorizon 3 = 4Dhorizon 2 = 4256 = 1,340 780 792 994 259 709 957 402 499 82... x 10154
Etc.

Pour base F ou 5:
Fhorizon 0 = 50 = 1
Fhorizon 1 = 5Fhorizon 0 = 51 = 5
Fhorizon 2 = 5Fhorizon 1 = 55 = 3 125
Fhorizon 3 = 5Fhorizon 2 = 53 125 = 1,911 012 597 945 477 520 356 404 559... x 102 154
Etc.

Les nombres gigantesques de la série Lhorizon sont du néant comparés aux nombres que l'on peut définir avec les hyperopérateurs. Ceux-ci admettent plusieurs variantes de définition; dans le langage des générescences ou des informations unaires, nous les appelons les opérateurs HENER. Voici comment nous les définissons:
H0 ou + : Addition (HENER d'ordre 0)
H1 ou x : Multiplication (HENER d'ordre 1)
H2 ou ^ : Exponentiation (HENER d'ordre 2), une flèche de Knuth (Wikipédia)
H3 ou ^^ : Tétration (HENER d'ordre 3), deux flèches de Knuth
H4 ou ^^^ : Pentation (HENER d'ordre 4), trois flèches de Knuth
H5 ou ^^^^ : Hexation (HENER d'ordre 5), quatre flèches de Knuth
Etc.

Propriété générale des hyperopérateurs (ou opérateurs HENER):
m Hp 1 = m;
m Hp+1 (n+1) = m Hp (m Hp+1 n),
ou plus simplement: m Hp+1 n    =   m Hp ... Hp m Hp m Hp m Hp m, où m est écrit n fois.
Par exemple la tétration 10 H3 5 (ou 10 ^^ 5) se décompose comme une chaîne de puissances H2 (ou ^^) suivante:
10 H3 5    =    10 ^^ 5    =   10 H2 10 H2 10 H2 10 H2 10    =    10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10, où 10 apparaît 5 fois. et on calcule les puissances de droite à gauche.
Le résultat d'un tel calcul est le nombre que nous avons appelé Lhorizon 5 plus haut ou 10 ^ (10 ^ (1010000000000)).

Avec les hyperopérateurs, les nombres comme 10 H10 10 ou 7 H7 7 sont fantastiquement colossalement titantesques! Ils sont pour ainsi dire "infinis", et pourtant bien finis. Et malgré leur grandeur vertigineuse hors de notre entendement actuel, ils sont pourtant des néants comparés au Nombre de Graham (Wikipédia), lui-même infiniment loin d'être ce qu'on peut définir comme nombres colossaux, c'est-à-dire comme généresences (ou informations unaires) colossales.

Nous qualifions cette conception de l'Infini (et aussi du Zéro), de générescente, de fractale, de cyclique, d'équivalencielle, etc., et aussi de concrète, de physique, de réelle, d'universelle (c'est-à-dire celle de l'Univers TOTAL). C'est la bonne conception de l'infini, avec elle l'INFINI entre vraiment en science, pour jouer pleinement qu'il n'a jamais vraiment joué jusqu'ici.

Le très classique et vieux problème de la division par 0, l'idée selon laquelle 1/0 n'est pas défini, qu'il ne peut pas exister une algèbre des corps ou une algèbre des nombres réels ou complexes dans laquelle l'"élément neutre pour la loi addititive" (en clair le 0) "ne peut admettre un symétrique pour la loi multilplicative" (en clair il est impossible de diviser par 0, de calculer avec un nombre infini exactement comme avec les autres nombres), et l'idée en physique selon laquelle l'infini n'a aucune réalité physique (comme le déclare par exemple l'astrophysicien Christian Magnan), etc., signifie simplement que même si les sciencse actuelles parlaient jusqu'ici de l'INFINI, celui-ci n'était pas vraiment dans ces sciences! L'Infini était très mal conçu, et par conséquent aussi le Zéro, qui était orphelin de ne pas avoir son invserse pleinement dans les sciences. L'Alpha (le Zéro) était sans son Oméga (l'Infini). C'est l'Univers TOTAL qui manquait tout simplement ainsi à la science.

En d'autre termes, DIEU manquait en science! Et maintenant arrive la bonne conception aussi bien du Zéro comme de l'Infini, de l'Alpha comme de l'Oméga (Révélation ou Apocalypse 1: 8; 21: 6: 22: 13).

L'Algèbre de l'Univers TOTAL: l'Algèbre de la Générescence, de la FRACTALE, de l'Equivalence, du Cycle

Sommaire du sous-titre

Ordinaux et Cardinaux linéaires, et Ordinaux et Cardinaux cycliques

Quand on ne travaille pas dans le paradigme de l'Univers TOTAL, les concepts scientifiques deviennent inutilement compliqués et même souvent confus, ne serait-ce que parce que l'on fait des distinguos inutiles, on sépare inutilement les notions et les domaines. Mais dans le paradigme de l'Univers TOTAL, la science se simplifie considérablement. Fondamentalement, toute science ou tout domaine n'est qu'une manière différente d'aborder le seul et même Univers TOTAL, de faire la seule et même Science de l'Univers TOTAL. Plus simplement encore, on faisait sans le savoir la seule et même science des générescences, oui l'étude des informations unaires: U, UU, UUU, UUUU, UUUUU, UUUUUU, ..., où l'Unit, le U, désigne l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Ces générescences sont à la fois les informations, les nombres (ou ordinaux et cardinaux), les ensembles, les choses, etc.

Une générescence possède deux aspects fondamentaux très liés, qui sont deux manières différentes de dire simplement la même chose, à savoir l'aspect ordinal et l'aspect cardinal, vus dans la première partie.

Et une générescence est tout simplement un ensemble dont les éléments stricts sont les générescences strictement inférieures. Et ses éléments larges sont toutes les générescences inférieures ou égales à la générescence considérée.

Par exemple, la générescence UUUU est l'ordinal 4 si l'Unit qui est l'Alpha (le Commencement ou le Premier) est appelé Un; autrement dit si l'on commmence à compter les Units en disant "Un". Et il est l'ordinal 3 si l'Alpha est appelé Zéro ou Rien ou Vide, autrement dit si l'on commmence à compter les Units en disant "Zéro", si donc on ne compte pas le Premier. Et cette générescence est l'ensemble dont les éléments stricts sont les générescences: {U, UU, UUU}, donc l'ensemble ordinal {1, 2, 3} ou {0, 1, 2}. Et ses éléments larges sont: {U, UU, UUU, UUUU}, ou {1, 2, 3, 4} ou {0, 1, 2, 3}.

La définition la plus fondamentale du mot "mathématique", en tout cas le sens que nous donnons à ce mot dans la Science de l'Univers TOTAL, est tout simplement la "théorie des ensembles" ou "science des ensembles", donc la science des générescences vues comme des ensembles. Toutes les notions mathématiques (relations, applications, lois de composition, fonctions, opérations, nombres, strutcures, espaces, ensembles géométriques, etc.) se définissent avec la seule et même notion d'ensemble, tout se ramène à une affaire d'ensemble et d'élément. Et tout peut se définir en termes de générescences.

Au sens le plus large du terme, le mot "algèbre", en tout cas le sens que nous donnons à ce mot dans la Science de l'Univers TOTAL, est tout simplement synonyme de "théorie des ensembles" donc de "mathématique". Mais en un sens plus restreint, le mot "algèbre" signifie "science des nombres et des structures numériques". Et nous parlons d'"arithmétique" pour dire que la science porte en particulier sur les "nombres entiers".

Mais comme toute chose est fondamentalement une générescence (voir aussi Générescence et codage de toutes choses et Le Verba, le Langage Informatique de l'Univers TOTAL), oui, comme tout et absolulument est une information (en l'occurrence une information unaire, écrite avec une seule unité d'information ou information élémentaire, U), tout est donc fondamententalement une arithmétique. Et même plus, tout est fondamentalement une informatique, celle de la générescence!

Et dans le paradigme de l'Univers TOTAL, la notion d'Egalité n'est plus la très restreinte d'Identité actuelle, mais la très large et puissante d'Equivalence. Une équivalence entre deux générescences données définit ce que nous appelons un cycle. Par exemple, l'équivalence U = UUUU qui s'écrit 1 = 4 ou 0 = 3 définit le Cycle 3. Et l'équivalence U = UUUUUUU... qui s'écrit 1 = ω+1 ou 0 = ω définit le Cycle Infini ou le Cycle Oméga.

Algèbre de l'Alpha et de l'Oméga, Algèbre du Cycle, Algèbre de Dieu

L'Algèbre de la Générescence, l'Algèbre du Cycle: Une algèbre très naturelle, très intuitive, d'une simplicité biblique.

Les Symétries de base de l'Univers TOTAL

Dans le paradigme de la Générescence et du Cycle,
la notion d'Infini est simplement un cas particulier de la notion générale de Variable.
On résout les équations avec l'Infini, l'Oméga (ω).
L'équation ω + ω = ω a deux solutions, 0 et ω,
car elle aboutit à la solution: ω = 0, qui est l'expression du Cycle Oméga.
Mais dans l'algèbre traditionnelle, l'équation est résolue avec X par exemple,
on a: X + X = X, qui donne comme seule solution X = 0,
ce qui fait perdre de vue qu'on a une deuxième solution à cette équation, à savoir l'Infini!
En effet, on a: Infini + Infini = Infini, exactement comme on a 0 + 0 = 0!
L'algèbre traditionnelle est donc une algèbre incomplète ou plutôt "bancale" ou "unijambiste"...
Car il lui manque le nombre Infini (Oméga) qui se calcule exactement comme n'importe quelle nombre.
Autrement dit, le Zéro est orphélin dans l'algèbre traditionnelle,
car il lui manque son inverse, à savoir Oméga ou 1/0.

Les notions de Générescence (ou de Structure fractale) ainsi que les notions d'Equivalence et de Cycle qui leur sont très étroitement associées, changenr complètement la mathématique et la vérité scientifique! Résoudre les équations dans le paradigme de l'Equivalence et du Cycle, donc avec une notion d'Egalité qui n'est plus l'actuelle très étroite Identité, c'est entrer dans une autre dimension, la science change de visage.

L'arithmétique et l'algèbre, ainsi que la géométrie et la topologie dans le nouveau paradigme (celui de l'Univers TOTAL), sont d'une grande simplicité, tout devient intuitif, naturel, indolore.

L'algèbre et l'arithmétique du Cycle est très apparentée à ce qu'on appelle actuellement les calculs de congruence mais aussi les raisonnements de la trigonométrie. Des mots qui peuvent effrayer le néophyte et pourtant qui sont la manière de faire les mathématiques la plus simple, la plus intuitive, la plus naturelle qui soit.

Les calculs de congruences sont tous les calculs comme la division euclidienne, le calcul de quotients et de restes de la division euclidienne, etc. Et côté trigonométrie, c'est la question de comprendre pourquoi les mesures d'angle en degré: -720°, -360°, 0°, 360°, 720°, etc., ou leur expressions en radian: -4π, -2π, 0, 2π, 4π, etc., sont équivalents (oui, c'est très important, on raisonne maintenant en termes d'équivalence!).

C'est aussi simple qu'une personne qui court autour d'une piste circulaire. Chaque fois qu'elle revient à certain même point donné de la piste, la situation est équivalente. La situation n'est pas identique, car la distance totale parcourue depuis le début de la course n'est pas la même, mais équivalente car la position est la même, comme si la personne n'avait pas bougé d'un tour à l'autre.

Si la piste fait 400 mètres de circonférence, parcourir 100 mètres + 200 mètres c'est parcourir 300 mètres, et l'addition sur cette piste est comme l'addition ordinaire. Mais le coureur fait 150 mètres de plus, la distance totale est de 450 mètres, donc il sera revenu au point de départ plus 50 mètres. Autrement dit, dans l'algèbre de cette piste, 450 mètres sont équivalents à 50 mètres.

On fait donc les opérations normalement comme dans l'algèbre classique, sauf que pour avoir le résultat final il faut déduire la distance correspondant au nombre de tours de piste. Si la distance parcourue est de 2920 mètres, le coureur a donc fait 7 x 400 + 120 mètres, soit 7 tours complets et 120 mètres. Donc le résultat final est de 120 mètres, ce qui est le reste de la division euclidienne de 2920 par 400. C'est l'algèbre du Cycle 400 et elle est aussi simple que cela.

Le Cycle 400 s'exprime par l'équivalence 0 = 400, et il importe de ne pas perdre de vue que l'égalité signifie désormais toujours l'équivalence!

L'Infini et le Zéro d'un Cycle

Dans ce Cycle 400 pris comme exemple pour montrer les règles de calculs et de raisonnement applicables à tout autre cycle, on dit que l'Infini ou l'Oméga de ce Cycle est 400, et que le Zéro ou l'Alpha de ce Cycle est 1/400. On pose pour ce Cycle: 1/0 = 400 et 1/400 = 0 Ce Zéro (1/400) et cet Infinu (400) sont qualifiés relatifs (ils sont ici relatifs au Cycle dont parle), par opposition au Zéro et à l'Infini absolus, qui sont respectivement 0 et ω. Par définition, ω = 1/0, il est appelé l'inverse de 0 ou la division de 1 par 0.

Autrement dit, le Zéro du Cycle 400 est donc l'équivalence: 0 = 1/400 ou 0 = 0.0025, qui n'est autre que l'expression d'un autre cycle, le Cycle 1/400. Et l'Infini du Cycle 400 est l'équivalence: ω =1/0 = 400.

L'expression générale du Cycle, le Cycle Oméga ou Cycle ω est: 0 = ω. L'Infini du Cycle est donc Oméga ou ω; c'est l'Infini absolu. et le Zéro est donc le Zéro absolu ou 0. Les deux sont liés par les équivalences: ω =1/0 et 0 =1/ω. Dans le paradigme du Cycle et l'Equivalence, les notion d'Infini et de Variable sont tout simplement synonymes! Autrement dit, c'est l'Infini qui sert de Variable!

Le problème de la division par 0 ne se pose plus du tout dans le paradigme du Cycle et l'Equivalence. Ce problème se posait simplement parce que nous fonctionnions avec avec une notion d'égalité qui est l'identité, qui interdisait qu'on écrive l'égalité entre deux choses différentes. Mais ce genre d'égalités sont tout simplement l'expression de cycles. Par exemple, 4 = 7 est une manière de dire 0 = 3, donc d'exprimer le Cycle 3.

Ce qui peut arriver de pire dans l'algèbre du cycle est de tomber sur une égalité entre deux choses différentes. Dans le paradigme de l'identité c'est une catastrophe, un paradoxe. Mais dans le paradigme de l'équivalence ce n'est pas du tout un drame, car alors on est tombé simplement sur un certain cycle. Ce n'est un drame que si ce n'est pas le cycle cherché! C'est alors simplement comme sonner à une mauvaise porte.

L'algèbre du paradigme de l'identité est assez grossière, tandis que l'algèbre du paradigme de l'équivalence, l'algèbre du cycle est très nuancée, fine. Elle demande simplement d'abandonner certains automatismes de l'algèbre traditionnelle. Il faut intégrer l'idée qu'on travaille toujours dans un cycle donné, et à défaut dans le Cycle Oméga, le Cycle Infini, à savoir le cycle dont l'infini ω est variable. Dans ce cycle, tous les calculs se font comme dans l'algèbre traditionnelle, sauf qu'on a en plus les nouvelles relations ω = 1/0 et 0 = 1/ω, qui sont celles de la division par 0.

Dans le paradigme du Cycle, tout nombre réel est un nombre entier naturel!

Dans l'actuel paradigme de l'Identité, on distingue les nombres entiers naturels (ensemble N des nombres entiers positifs: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...), les nombres entiers relatifs (ensemble Z des nombres entiers positifs ou négatifs: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...), les nombres rationnels (ensemble Q des fractions: -2/3, -1/2, -1, 0, 1, 1/2, 2/3, ...), les nombres réels (ensemble R de tout type de nombres). Selon la conception actuelle des nombres, il est hors de question de dire par exemple que 3/4 est un nombre entier ou que le fameux nombre π (ou PI) est un nombre rationnel, encore moins un nombre entier.

Mais dans le paradigme de l'Equivalence, le paradigme du Cycle, les choses sont beaucoup plus nuancées que cela, et tout nombre est finalement un nombre entier naturel, car tout nombre (comme toute chose) est une générescence.

Dans le paradigme de Cycle, tous les nombres entiers relatifs sont des nombres entiers naturels

Dans le paradigme du Cycle, tous les nombres entiers relatifs (c'est-à-dire les nombres entiers positifs ou négatifs) sont tous positifs. En effet, considérons le Cycle 400 de notre exemple, qui s'écrit donc 0 = 400. Par conséquent, on a: -1 = 399, -2 = 398, -3 = 397, etc. On voit donc que tous les nombres négatifs de ce cycle sont toujours équivalents à un nombre positif. D'une manière générale, pour le cycle général 0 = ω, pour tout entier naturel n donné inférieur ou égal à ω, on a: -n = ω-n. Donc le nombre négatif -n est équivalent au nombre positif ω-n.

Dans le paradigme de Cycle, tous les nombres rationnels sont des nombres entiers naturels et vice-versa.

Le paradigme du cycle se caractérise par une logique très inhabituelle pour la pensée actuelle, et qui se résume par la simple expression du Cycle 1 par exemple: 0 = 1. Autrement dit, le Zéro, c'est aussi l'Unité! Pour le Cycle 2, qui s'écrit 0 = 2, cela veut dire que cycle compte deux unités, ou que que pour ce cycle le nombre entier 1 est ce que appelle la fraction 1/2. Cette fraction est l'unité de ce cycle, il en compte deux, ce qui fait le cycle entier. La fractions 3/2 est 3 unités du cycle 2, ce qui veut dire que quand on se place dans ce cycle, la fraction 3/2 n'est autre que le nombre entiernaturel 3, et la fraction 5/2 c'est 5 unités de ce cycle, donc le nombre entier 5, etc.

De même, la fraction 1/3 est l'unité du cycle 3, donc le nombre entier 1; la fraction 2/3 est le nombre entier 2, la fraction 3/3 ou 1 c'est 3 d'après ce cycle, la fraction 4/3 c'est 4, etc. Et de même, la fraction 1/4 est l'unité du cycle 4 ou son 1. 2/4 est son 2, 3/4 est son 3, etc.

Et de manière générale, toute fraction est un nombre entier, si l'on se place dans le cycle indiqué par son dénominateur. Ainsi, la fraction 251/419 est le nombre entier 251 vu dans le cycle 419. Et réciproquement, pour tout nombre entier donné, par exemple 25, il correspond à une fraction selon le cycle où on le voit. Si on le voit dans le cycle 2, alors c'est la fraction 25/2; si on le voit dans le cycle 100, alors c'est la fraction 25/100, etc. Bref, à la lumière du Cycle, toute fraction est un nombre entier et vice-versa.

Dans le paradigme de Cycle, tout nombre réel est un nombre rationnel

Pour cela, il suffit de montrer comment le fameux nombre π (ou PI) est un nombre rationnel. C'est ici qu'interviennent les nombres infiniment grand comme par exemple Lhorizon 3 ou Zhon, mais la notion de vérité graduelle, une notion de la Logique Alternative. Dans cette logique la fausseté de la phrase "10 est infini" est de 1/10 et sa véracité est de 9/10; la fausseté de la phrase "100 est infini" est de 1/100 et sa véracité est de 99/100; la fausseté de la phrase "1000 est infini" est de 1/1000 et sa véracité est de 999/1000, etc.

Pour un nombre entier naturel D supérieur ou égal à 1, la fausseté de la phrase "D est infini" est de 1/D et sa véracité est de (D-1)/D, etc. Donc plus le nombre D est grand, plus la phrase est vraie. Donc la fausseté de la phrase "Zhon est infini" est de 1/Zhon = 1/1010 000 000 000, c'est-à-dire le Shon et sa véracité est (Zhon - 1)/Zhon ou 1 - Shon.

Le nombre Shon est le nombre de la forme 0.00000...000001, qui a Zhon décimales (Zhon chiffres après la virgules), la dernière décimale étant 1. Autrement, pour écrire ce nombre, il faut d'abord aligner dix milliards de zéros, mettre une virgule après la premier zéro et 1 après le dernier zéro. C'est donc un nombre infiniment petit (c'est le cas de le dire!), un nombre pratiquement égal à 0! Et quant à 1 - Shon, nombre que nous appelons Zhonän (lire "Jonnane"), est de la forme 0.99999...99999, avec dix milliards de chiffres 9 après la virgule! Autant donc dire qu'il est pratiquement égal à 1! Cela veut dire simplement que la phrase "Zhon est infini" est pratiquement vraie, et donc que son contraire "Zhon n'est pas infini" a une véracité égale à Shon, donc pratiquement nulle!

Et maintenant, considérons la suite des nombres rationnels suivants:
31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000, 314159/100000, ... , c'est-à-dire donc:
3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ... ,
qui sont des valeurs approcées du nombre π (ou PI) mais en ajoutant à chaque fois une décimale de ce nombre π. Pour chacun de ces nombre q, la phrase "π est le rationnel q" est de plus en plus vraie, exactement que la phrase "D est infini", car c'est exactement le même problème posé autrement. Ici, D est le nombre de décimales de la valeur approchée de π, donc la phrase "π est le rationnel q" a la même véracité que la phrase "D est infini".

Quand donc D aura pour valeur Zhon, la véracité de la phrase "π est le rationnel q" sera de Zhonän, donc pratiquement 1, tantis que la véracité de son contraire "π n'est pas le rationnel q" (qui est la vérité mathématique actuelle) est de Shon, donc pratiquement 0! Donc entre une phrase et son contraire, l'actuel paradigme de l'Identité ou Logique Négative (une logique tranchée et très grossière) retient comme vérité mathématique celle qui a la plus faible véracité, la véracité quasi nulle!

Mais pour le nouveau paradigme de l'Equivalence et sa Logique Alternative (une logique graduelle et fine), la phrase et son contraire sont toutes les deux vraies, mais avec une véracité quasiment totale pour l'une et quasiment nulle pour son contraire. C'est le cas si le nombre Horizon pour lequel les véracités sont évaluées est Lhorizon 3 ou Zhon. Que dire alors si l'on Horizon d'évaluation un nombre comme Lhorizon 7 , Lhorizon 100 ou Lhorizon 1000 !

C'est évident: plus le nombre de décimales de la valeur approchée de π augmente, plus cette valeur approchée tend vers π, ce qui veut dire simplement que π est de plus en plus rationnel! Dans les nombres rationnels avec de grands numérateurs et/ou de grands dénominateurs, il est de plus en plus facile d'en trouver qui soient pratiquement π, il est de plus en plus facile de définir π comme étant un certain nombre rationnel, avec une erreur ou une fausseté plus faible que Shon! Et c'est vrai pour tout nombre réel.

Une logique qui donne une vision réaliste des choses, qui fait voir les choses telles qu'elles sont vraiment, avec toute la nuance, la finesse et la sutilité qui s'imposent, est de loin préférable à une logique déconnectée de la réalité et de l'Univers TOTAL, qui nous fait préférer "La Terre est plate" à "La Terre est ronde".

Aussi étonnant que cela puisse paraître donc, le nombre π est un nombre rationnel, ou en tout cas l'idée qu'il l'est, est plus vraie que son contraire! Sa véracité tend vers 1 tandis celle de son contraire tend vers 0! C'est le paradigme étroit de l'Identité qui fausse la vérité mathématique et donne l'illusion du contraire.

Avec les nombres Horizon, on peut donc très raisonnablement définir le nombre π comme étant le nombre rationnel N/Zhon, où N est l'entier naturel "314159..." qui est 3 suivi des Zhon premières décimales de π. Et dans le Cycle Zhon (défini donc par l'équivalence: 0 = Zhon), π est le nombre entier N = 314159...

Dans le paradigme de Cycle, tout nombre complexe est un nombre entier naturel

Dans le paradigme de l'Identité, l'équation X2 + 1 = 0 n'admet pas de solution réelle. Autrement dit, il n'existe pas un nombre réel X vérifiant X2 + 1 = 0 ou X2 = -1.

Mais dans le paradigme de Cycle, non seulement ce nombre réel existe, mais il est un nombre entier naturel, à savoir tout simplement l'unité du Cycle 2.

En effet, ce cycle s'écrit: 0 = 2 ou 2 = 0,
donc 1 + 1 = 0,
donc 12 + 1 = 0,
donc 12 = -1.
Ainsi donc, l'unité du cycle 2 satisfait la condition cherchée. Pour cela, cette unité est notée aussi i, et on a donc: i2 = -1.

Univers TOTAL, Théorie des cordes, Théorie de la Générescence

Toute chose est fondamentalement une générescence, est une affaire de cycles!

Donc non seulement les nombres réels ou complexes sont des nombres rationnels, mais ce sont aussi fondamentalement des nombres eniters natuels moyennant le Cycle. La raison profonde de cette vérité est que toute chose X est une générescence, une information constituée d'une seule information élémentaire, U. Autrement dit, on a: X = UUUU...U ou X = N x U, où N est un certain nombre entier naturel (voir Générescence et Structure FRACTALE).

L'Algèbre du Cycle en vidéo

Note: au moment où cette vidéo a été réalisée,
nombre de récents développements de la Science de l'Univers TOTAL n'avaient pas encore vu le jour,
(comme par exemple le très puissant concept de générescence).
Néanmoins, cette vidéo est d'un très grand intérêt pour comprendre l'Algèbre du Cycle, l'Algèbre de Dieu!
Elle a en plus l'avantage d'aborder la nouvelle conception des nombres d'un point de vue géométrique.
Elle présente la notion de "polygone circulaire" très rarement reprise ailleurs.

Voir aussi...