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L'Univers TOTAL U
est l'Ensemble de toutes les choses.
IL a une Structure FRACTALE.
IL est le Paradigme d'une nouvelle Science :
la Théorie Universelle des Ensembles,
la Science de l'Univers TOTAL,
l'Univers-DIEU...

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Equivalence, Egalité et Identité

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Présentation de l'actuelle conception de l'Equivalence et l'Identité...

Définition 0 : Conception classique de l'Equivalence

Considérons un ensemble S donné. On considère dans S une relation, généralement notée quand on veut parler de relation d'équivalence. On dit que la relation est une relation d'équivalence dans S si elle vérifie les trois axiomes suivants :

1 - Réflexivité
Pour tout élément X de S, on a X ≡ X.
En d'autres termes, tout éléments X de S est équivalent à lui-même.

2 - Symétrie
Pour deux éléments X et Y de S, si X ≡ Y, alors Y ≡ X.
En d'autres termes, si X est équivalent à Y, alors aussi Y est équivalent à X.

3 - Transitivité
Pour trois éléments X, Y et Z de S, si X ≡ Y et si Y ≡ Z, alors X ≡ Z.
En d'autres termes, si X est équivalent à Y et si Y est équivalent à Z, alors aussi X est équivalent à Z.

Une des importantes conséquences de cette conception classique de l'équivalence est que l'ensemble S se trouve partitionné en plusieurs sous-ensembles appelés les classes d'équivalence pour la relation considérée. Une classe est constituée d'éléments équivalents entre eux, mais qui ne sont équivalents à aucun élément d'une autre classe. Autrement dit, aucun élément de S ne peut appartenir à deux classes différentes. On dit dans ce cas que les classes sont disjointes. Et l'ensemble des classes pour la relation d'équivalence considérée est actuellement appelé l'"ensemble quotient" pour cette relation.

On vérifie très facilement que l'égalité habituelle, notée =, peu importe l'ensemble S dans lequel on la considère, vérifie les trois axiomes fondamentaux de l'équivalence.

En effet on a les trois vérités suivantes, que tout le monde applique très naturellement, sans y penser :
1- Réflexivité de l'égalité : X = X (toute chose X est égale à elle-même)
2- Symétrie de l'égalité : si X = Y alors Y = X
3- Transitivité de l'égalité : si X = Y et si Y = Z, alors X = Z.

L'égalité actuelle est donc une relation d'équivalence. Quelles sont les classes de cette équivalence dans un ensemble S donné ? Très simple : dans cette conception de l'égalité, chaque élément de S n'est égal qu'à lui-même. Donc la classe d'équivalence d'un élément a de S se réduit au singleton {a}, car actuellement on a le droit de dire seulement a = a.

Si l'on prend par exemple pour S l'ensemble dont les éléments sont 0, 1, 2, 3, donc S = {0, 1, 2, 3}, ses classes d'équivalences pour l'égalité sont les singletons : {0}, {1}, {2}, {3}. Cela signifie qu'on a le droit de dire seulement des choses comme : 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, etc, mais jamais par exemple 0 = 1 ou 1 = 3!

Cette conception de l'égalité est ce qu'il faut appeler très précisément l'identité ou égalité stricte. Elle se réduit à l'axiome 1 de la relation d'équivalence, la réflexivité.

Autrement dit, selon chaque individu de l'ensemble S sur lequel on raisonne forme une classe dont l'unique élément est lui seul. En effet, dans ce paradigme, une chose n'est égale qu'à elle-même. Toute égalité avec une chose différente est interdite.

Par exemple, actuellement, on doit dire seulement des choses comme . ou 7 = 40000!

Et actuellement, on considère l'égalité comme un cas particulier de relation d'équivalence.

L'égalité est donc évidemment une relation d'équivalence. Et maintenant, posons-nous cette simple question : "Que sont les classes d'équivalence dans le cas de l'égalité actuelle" ?

Cette conception de l'égalité est ce qu'il faut appeler très exactement l'Identité. Les classes actuelles d'égalité sont seulement les classes d'identités, réduites chacune à un seul individu.

Très simple : dans cette conception de l'égalité, chaque individu de l'ensemble S sur lequel on raisonne forme une classe dont l'unique élément est lui seul. En effet, dans ce paradigme, une chose n'est égale qu'à elle-même. Toute égalité avec une chose différente est interdite.

Par exemple, actuellement, on doit dire seulement des choses comme 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, etc. mais jamais 0 = 1 ou 7 = 40000!

Cette conception de l'égalité est ce qu'il faut appeler très exactement l'Identité. Les classes actuelles d'égalité sont seulement les classes d'identités, réduites chacune à un seul individu.

Présentation de la nouvelle conception de l'Equivalence et l'Identité...

Le paradigme de l'Univers TOTAL entraîne une nouvelle conception de l'équivalence, de l'égalité et de l'identité. Dans ce paradigme, on aborde les choses (et en particulier la question de l'équivalence) d'une manière globale !

A partir de maintenant donc, notre unique ensemble S de définition et d'étude de l'équivalence sera simplement U, c'est-à-dire donc l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Nous allons procéder d'une manière inverse à la manière actuelle, exposée plus haut: nous n'allons pas définir isolément une relation d'équivalence et chercher ensuite ses classes d'équivalences (ou "ensemble quotient"), mais nous allons dire d'abord ce que sont d'une manière générale les classes d'équivalence dans U, et ensuite nous donnerons une définition générale de l'équivalence avec les classes de U.

D'abord, les classes d'équivalence de l'Univers TOTAL U sont tout simplement...les ensembles! L'ensemble des humains, l'ensemble des blancs, l'ensemble des noirs, l'ensemble des arbres, l'ensemble des cailloux, l'ensemble des atomes, l'ensemble des protons, l'ensemble des neutrons, l'ensemble des électrons, l'ensemble des planètes, l'ensemble des galaixies, l'ensemble des univers, etc.,

Ce sont autant de classes d'équivalences. Et contrairement à la conception actuelle de l'équivalence, ces classes ne sont pas nécessairement disjointes, ce ne sont pas des partitions. Une chose peut tout à fait appartenir à deux classes différentes. On a les réunions des classes, les intersections des classes, etc. Et l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses, est tout simplement la plus grande des classes d'équivalence!

On peut maintenant définir la nouvelle notion d'équivalence. Voici sa très simple définition :

Définition 1

Deux choses A et B sont équivalentes si elles appartiennent toutes les deux à un certain même ensemble E. Elles sont équivalentes du point de cet ensemble E.

Par exemple, si A est un humain blanc et B un humain noir, ils ne sont équivalents si on se place seulement dans l'ensemble des humains blancs ou dans l'ensemble des humains noirs. Ces deux ensembles les distinguent, expriment leur spécificité, leur identité.

Mais il n'y a pas que l'identité ou les facteurs de différence qu'il faut considérer. Il existe un ensemble plus grand que celui des humains blancs ou des humains noirs, à savoir tout simplement l'ensemble des humains, sans distinction de la couleur de la peau. Les deux humains dont nous parlons sont donc avant tout... deux humains, et ils sont tout simplement équivalents de ce point de vue!

On remarquera que dans le langage naturel, on exprime simplement l'appartenance d'une chose A à un ensemble E, sous la forme : "A est un e", où "e" est le nom commun des éléments de E, comme par exemple humain, arbre, fleur, etc. D'où cette deuxième version de la définition de l'équivalence.

Définition 1 bis

Deux choses A et B sont équivalentes si on a un nom commun e qui permet de dire : "A est un e" et "B est un e" (en Verba : "A er an e" et "B er an e"). Alors A et B appartiennent tous les deux à l'"ensemble des e". Autrement dit, A et B sont équivalents du point de vue de la propriété commune e.

Si pour deux choses A et B on ne trouve aucune classe d'équivalence pour elles (et en fait il en existe toujours, et même une infinité !), il reste alors l'ultime classe d'équivalence, l'Univers TOTAL. La propriété commune à tous les éléments de l'Univers TOTAL (l'Ensemble de toutes les choses) est simplement la propriété : "chose" :
"A est une chose" et "B est une chose" (en Verba : "A er an ux" et "B er an ux")

La nouvelle conception de l'égalité est tout simplement l'équivalence que nous venons de présenter, et qui a pour classes d'équivalence les ensembles. Autrement dit, l'ensemble quotient de cette notion d'équivalence est l'Univers TOTAL. Cette notion d'équivalence (ou d'égalité) est infiniment plus puissante et plus féconde que la conception étroite actuelle.

Quant à la notion d'identité, elle est un cas très particulier (un cas extrême) d'équivalence. Dans les trois axiomes de la classique relation d'équivalence présentée plus haut, le premier axiome (la réflexivité) qui dit que X ≡ X ou X = X est justement la partie identité de l'équivalence. Autrement dit, au lieu de l'appeler l'axiome de réflexivité, on aurait dû simplement l'appeler l'axiome d'identité. Son unique but est traiter du cas très particulier où l'on ne parle pas de deux choses distinctes A et B, mais d'une seule et unique chose déisgnée par deux noms différents A et B. Dans ce cas, par A = B il faut entendre A = A et B = B.

Par exemple, l'identité ne s'applique pas à deux choses distinctes comme 0 et 1 par exemple. Elle interdit très normalement de dire 0 = 1, mais seulement 0 = 0 et 1 = 1. Mais raisonner seulement en termes d'identité au lieu de l'équivalence que nous venons de présenter, conduit tout simplement inévitablement à nier l'Univers TOTAL dans les sciences. C'est ce qui s'est passé jusqu'à aujourd'hui.

Résumé technique...

Résumons maintenant de manière plus technique la nouvelle notion d'équivalence, d'égalité ét d'identité.

Définition 2 : Equivalence ou Egalité

Soient deux choses A et B. On dit que A et B sont équivalents s'il existe un ensemble E ayant à la fois A et B pour éléments.
On dit alors que A et B sont équivalents ou égaux du point de vue de E (ou modulo E). On écrit en Verba : A ERIV B (mod E) ou plus simplement A ER B (mod E), et on note : A = B (mod E).
Si A et B ne sont pas équivalents (ou égaux), on dit qu'ils sont différents.
La relation de Différence se dit en Verba : A NONERIV B et on note : A ≠ B.

La notion d'équivalence ou d'égalité sous-entend donc que l'on se place d'un certain point de vue. Si par exemple A et B sont tous les deux des feuilles de papier de blanches de format A4, alors les deux choses sont équivalentes de ce point de vue.

A et B sont Identiques

Mais si B est par exemple une feuille rouge de format A3, alors les deux ne sont plus équivalents du point de vue de l'appartenance à l'ensemble des feuilles blanches de format A4, mais équivalents encore du point de vue de l'appartenance à l'ensemble des feuilles.

Définition 3 : Identité

Soient deux choses A et B. On dit que A et B sont identiques ou équivalents à tout point de vue si tout ensemble E ayant A pour élément a aussi B pour élément, et vice-versa.
On écrit en Verba : A ERID B et on note : A == B.
Si A et B ne sont pas identiques, on dit qu'ils sont distincts.
La relation de Distinction se dit en Verba : A NONERID B et on note : A ≠≠ B.

Dire que A et B sont distincts c'est dire qu'il existe au moins un ensemble E ayant l'un pour élément et pas l'autre. On dit alors E opère une distinction entre que A et B ou que A et B sont distincts du point de vue de E.

Par exemple, si A est une feuille de format A4 et que B n'est pas une feuille de format A4, alors l'ensemble des feuille de format A4 opére une distinction entre A et B, ils sont distincts de ce point de vue.

Concrètement, la relation d'identité signifie simplement que A et B sont le même objet physique, qu'on n'a pas deux objets (auquel cas ils seraient distincts) mais un seul et unique objet. Et par conséquent, A et B sont simplement deux noms différents pour parler de cet objet. Il n'y a qu'à cette condition que tout ensemble ayant A pour élément a aussi B pour élément, et vice versa, ce qui signifie qu'aucun ensemble n'opère une distinction entre les deux.

A et B sont Identiques

Voir aussi...