La Théorématique: la méthode scientifique de l'Univers TOTAL

Sommaire du sous-titre

• - La définition du mot CHOSE, le mot clef fondamental du Langage universel des ensembles
• - La notion de CHOSE, la Négation absolue, et le Paradoxe fondamental: "La chose qui est une non-chose"...
• - Le mot CHOSE est pour le mot UNIVERS ce que le mot ELEMENT est pour le mot ENSEMBLE.
     La Théorie universelle des ensembles ou la Théorie chosique des ensembles.
     L'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les chose: LA Chose!
• - Le mot CHOSE: le nom commun associé au verbe ETRE! La Théorie ontologique des ensembles.
     L'Univers TOTAL, l'Ensemble de tous les êtres: L'Etre!
• - Le mot CHOSE: le mot qui permet enfin de traiter scientifiquement toutes les choses, en particulier la question de Dieu
• - Le mot CHOSE: une notion récursive, le reflet de l'auto-appartenance et de la structure fractale de l'Univers TOTAL
• - Le Théorème de l'Existence, le Théorème de l'Univers TOTAL, le Théorème fondamental de la Théorématique
• - La Négation (absolue) est la cause fondamentale de tous les paradoxes. La Théorématique est la vaie solution aux paradoxes
• - La Théorématique, l'Alternation, la Logique Alternative ou Logique Fractale

La définition du mot CHOSE, le mot clef fondamental du Langage universel des ensembles

Une CHOSE est tout ce dont on parle, tout ce que l'on conçoit, tout ce que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition...

La science n'avait pas besoin d'axiomes, de principes et d'hypothèses. Elle avait juste besoin de poser un seul objet au départ, son objet même, à savoir l'Univers TOTAL. Et, incroyable mais vrai, pour définir cet objet, elle n'avait besoin que d'un seul mot clef: le mot CHOSE, en anglais THING, en Verba UX ou simplement X! Voici sa simple définition:

"Une CHOSE est tout ce dont on parle, tout ce que l'on conçoit, tout ce que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition. Le mot CHOSE est le mot par défaut, le mot à utiliser avant tout autre mot, le mot en l'abscence de tout autre mot. C'est le nom commun le plus général, la qualité la plus fondamentale, la plus générale. C'est la définition minimale avant toute autre définition, la propriété minimale avant toute autre propriété, la précision minimale avant toute autre précision."

Cette définition de mot CHOSE revient à dire simplement que c'est la notion qui généralise toute autre notion, tout autre mot. Cette définition revient à dire: "Un humain est une chose", "Un nombre est une chose", "Une galaxie est une chose", "L'amour est est une chose", "Dieu est une chose", etc. Bref on dit simplement toujours ceci: "X est une chose", où X est tout ce qu'on veut, tout ce qui nous passe par la tête. Autrement dit, cette définition du mot CHOSE consiste à dire avec le quantificateur universel "QUEL QUE SOIT" ou "TOUT": "Quel que soit X, X est une chose" ou "TOUT X est une chose":
∀X(X est une CHOSE)

La notion de CHOSE est la notion la plus universelle qui soit, tout simplement parce que derrière elle se cache celle d'Univers TOTAL (pour plus de détail sur cet aspect de la notion, voir le sous-titre Le mot CHOSE est pour le mot UNIVERS ce que le mot ELEMENT est pour le mot ENSEMBLE).

Dans la Science de l'Univers TOTAL, la célèbre variable et inconnue X a maintenant un sens très précis, à savoir... "CHOSE"! Autrement dit, cette variable et inconnue X est maintenant un simple mot d'une seule lettre pour dire "CHOSE", elle est une simple abréviation de ce mot universel. Par inconnue X il faut maintenant entendre exactement qu'on sait seulement que X est une chose, on a juste cette information minimale, et on veut préciser X, on veut préciser la chose en question. En l'absence de cette précision, elle reste une chose, elle est donc inconnue en ce sens maintenant très précis. Avec une égalité (et plus précisément une équivalence) du genre X = ... ou un énoncé du genre: X EST ... commence la précision de X, on commence la définition de la chose.

Puisque la notion de CHOSE généralise toute autre notion, toute autre notion ou mot précise donc ce mot général. Par exemple : "Cette chose est un humain", "Cette chose est un nombre", "Cette chose est une galaxie", "Cette chose est l'amour", "Cette chose est Dieu", etc.

Par conséquent, la notion de chose est la seule qui se précise ou se généralise elle-même, qui se définit elle-même: "Une chose est une chose" ou "Cette chose est une chose"... Autrement dit, cette notion est la seule qui se définit elle-même récursivement (pour plus de détails sur la récursivité du mot chose, voir Le mot CHOSE: une notion récursive et générescente, le reflet de l'auto-appartenance et de la structure fractale de l'Univers TOTAL).

Au stade de la notion de CHOSE, tout mot ou toute définition est un simple synonyme... du mot CHOSE!

Un très important aspect de la défiition de la notion CHOSE est qu'une CHOSE est "tout ce que l'on désigne" par un mot, quel qu'il soit, tout ce que l'on désigne par une définition, quelle qu'elle soit.

Par exemple donc, un bidule, un machin ou un truc est une chose, du simple fait qu'on l'ait désignée par un mot. Et même si l'on dit: "La chose qui n'est pas une chose", du simple fait d'avoir posé une définition, on parle d'une chose tout simplement, même si cette chose se nomme: "La chose qui n'est pas une chose" ou La chose qui est une non-chose.

Au stade de la notion de chose, on ne se préoccupe pas du contenu de la définition, elle est juste comme un mot comme bidule, machin ou truc. Autrement dit, on n'interprète pas les mots de la définition, mais on la prend tout en bloc, avec tous ses mots, comme un mot. A ce stade, elle est juste un objet formel (c'est-à-dire qui se limite à sa forme et pas son sens), un symbole comme X ou Y, qui désigne une certaine chose, c'est tout. Ce n'est que dans un second temps que commence l'analyse éventuelle du contenu de la définition, son interprétation. Et alors commence aussi la précision ou la particularisation de la chose, sa spécialisation ou sa spécificité

En l'occurrence, ici, la chose dont la définition est : "La chose qui n'est pas une chose", est la définition du mot paradoxe . Autrement dit, un paradoxe est par définition "une chose qui n'est pas une chose" (pour plus de détails sur la notion paradoxe, voir le sous-titre ci-après La notion de CHOSE, la Négation absolue, et le Paradoxe fondamental).

On voit ici simplement que si c'était le mot paradoxe qui était posé en premier sans autre précision, malgré les préjugés qu'on pouvait avoir sur ce mot ou sur son sens, c'était juste un mot désignant une certaine chose, point final. A ce stade, cette chose ne se distingue pas des autres à part par son étiquette, son code d'identification très précisément. Par conséquent ajouter ensuite la définition "La chose qui n'est pas une chose", c'est commencer à la particulariser.

Mais comme c'est la définition "La chose qui n'est pas une chose" qui fut posée en premier, elle est ce stade elle aussi juste une étiquette disant qu'on a réservé ce groupe de mots ou ce code d'identification pour désigner une certaine chose, que cette étiquette ou ce code ne doit donc plus servir à une autre chose, sauf si on pose une équivalence entre les deux codes, exactement comme quand on dit "X = 3". Mais dans ce cas-là justement, cette équivalence signifie que les deux choses se précisent mutuellement, ici par exemple "3" précise "X" et aussi... "X" précise "3", eh oui!

Par conséquent, en disant dans un second temps qu'"une chose qui n'est pas une chose" est par définition ce que nous appelons un paradoxe, nous commençons à préciser la paradoxe introduite avec l'équivalence: La chose qui n'est pas une chose = paradoxe ou paradoxe = La chose qui n'est pas une chose (pour plus de détails, voir le sous-titre La notion de CHOSE, la Négation absolue, et le Paradoxe fondamental).

La notion de CHOSE, la Négation absolue, et le Paradoxe fondamental: "La chose qui est une non-chose"...

Comme dit précédemment, un paradoxe est par définition "une chose qui n'est pas une chose".

Le paradoxe est dit juste relatif si la négation contenue dans cette définition est elle aussi relative. Mais le paradoxe est dit absolu si la négation est absolue.

La négation absolue est le fait de dire qu'une certaine chose n'existe pas dans l'Univers. Donc elle est une "une chose qui n'est pas une chose", étant donné que nous parlons de l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses, donc l'Ensemble dans lequel toute chose existe. Donc si une chose n'y existe pas, elle n'est pas une chose, d'où le paradoxe, car toute chose, eh ben est une chose!

Il faut noter que ce paradoxe fondamental n'est pas dû à la notion de chose mais tout simplement à la négation qu'on fait, ici absolue (pour plus de précision, voir le sous-titre La Négation (absolue) est la cause fondamentale de tous les paradoxes. La Théorématique est la vaie solution aux paradoxes et aussi L'Axiome de Non-Existence: le plus fondamental et le plus vicieux de tous les paradoxes et plus généralement l'ensemble du document Problème de la Négation, Paradoxe de la NON-Existence, Théorème de l'Existence).

Ce paradoxe fondamental signifie simplement qu'il ne faut pas nier à ce point les choses, jusqu'au mot chose lui-même, c'est-à-dire interdire à une chose d'être... eh ben une chose! Une négation à ce point est plus que paradoxale, elle est tout simplement pathologique!

Quand nous parlerons de négation sans aucune précision, cela sous-entendra la négation absolue. Sinon, nous parlerons de négation relative, le fait de nier une chose seulement dans un contexte donné de l'Univers, et non plus dans l'absolu (dans l'Univers TOTAL). La négation relative est appelée l'alternation.

Le mot CHOSE est pour le mot UNIVERS ce que le mot ELEMENT est pour le mot ENSEMBLE.
La Théorie universelle des ensembles ou la Théorie chosique des ensembles.
L'Univers TOTAL: l'Ensemble de toutes les choses, LA Chose!

Pour jouer le rôle du mot CHOSE (c'est-à-dire le rôle du mot clef le plus général de la Science de l'Univers TOTAL), nous aurions pu choisir un autre terme plus technique, qui fait souvent office du terme scientifique général, à savoir le mot OBJET. Mais comparé au mot CHOSE (en anglais THING) il n'a pas dans l'intuition toute la généralité et toute l'universalité exigée.

L'adjectif que nous associons au mot CHOSE est "UNIVERSEL". Une propriété sera par définition dite UNIVERSELLE si elle est possédée par toute chose, valable pour toute chose, applicable à toute chose, définie pour toute chose, etc. Cela revient à dire que cette propriété concerne l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses.

Par exemple, par Théorie universelle des ensembles, il faut entendre la théorie des ensembles dont mot clef le plus fondamental est le mot CHOSE, ou la théorie des ensembles qui porte sur l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. La Théorie universelle des ensembles est appelée aussi la Théorie chosique des ensembles (en anglais Thingal Set Theory), le nouvel adjectif "CHOSIQUE" étant un parfait synonyme de l'adjectif "UNIVERSEL" et signifiant simplement que cette théorie des ensembles repose sur le mot CHOSE.

Si les choses étaient bien conçues, si la vision de l'Univers et des choses était bonne, si les langues et les langages étaient bien conçus, on aurait dû comprendre une simple chose: toute chose est un univers!

En effet, le mot UNIVERS et le mot CHOSE sont fondamentalement la même notion, l'un en tant qu'ENSEMBLE et l'autre en tant qu'ELEMENT. Autrement dit, les mots UNIVERS et CHOSE sont l'un par rapport à l'autre exactement comme les mots ENSEMBLE et ELEMENT! Autrement dit encore, le mot CHOSE est tout simplement la version ELEMENT de la notion d'UNIVERS, et réciproquement le mot UNIVERS est la version ENSEMBLE de la notion de CHOSE. C'est exactement la même notion, mais vue soit sous son angle ENSEMBLE ou sous son angle ELEMENT.

Pour cette raison, la définition normale et naturelle qui s'impose pour le mot Univers est Ensemble de toutes les choses! Une autre plus simple manière de dire cette simple vérité est que l'Univers est l'ensemble quantique engendré par le nom commun chose (pour plus de détails sur les ensembles quantiques, voir Définition de la notion d'ensemble quantique ou ensemble ontologique et Physique Quantique de l'Univers TOTAL, la Physique du TOUT).

Et aussi, chose très importante, l'Univers TOTAL: l'Ensemble de toutes les choses, U, est UNE chose parmi les autres. Mais aussi, l'Univers TOTAL, cette chose est LA Chose, oui la LA Chose TOTALE, LA Chose Suprême! Autrement dit, c'est la chose "CHOSE": U = Chose. C'est l'Univers TOTAL qui fait que les autres chose sont des choses.

Le mot CHOSE: le nom commun associé au verbe ETRE! La Théorie ontologique des ensembles.
L'Univers TOTAL, l'Ensemble de tous les êtres: L'Etre!

Une autre chose très importante concernant ce très important mot CHOSE est que ce mot est tout simplement le nom commun associé au très important et fondamental verbe ETRE (en Verba ER). Autrement dit, le mot CHOSE (en anglais THING et en Verba UX) est le verbe ETRE en tant que nom (en anglais BEING et en Verba ERUX ou simplement UX).

Autrement dit, ici encore, si les choses étaient bien conçues, si la vision de l'Univers et des choses était bonne, le mot CHOSE aurait dû avoir le sens du mot ETRE comme dans être humain ou Etre suprême. Et réciproquement, le verbe ETRE aurait dû avoir le sens de CHOSER (en angalis To THING et en Verba UXER ou simplement ER), c'est-à-dire le verbe correspondant au nom commun CHOSE.

Le mot CHOSE est la notion d'ETRE au sens le plus général et universel du terme. Pour la simple raison que la définition qui s'impose pour la notion d'ETRE est "CHOSE qui EST" (en Verba donc ERUX). Autrement dit, une chose X est un être si l'on peut dire: "X EST", c'est-à-dire si l'on peut employer le verbe ETRE pour dire que X EST quelque chose . Or on peut toujours dire "X EST X"! Donc une chose X est toujours un ETRE, les deux termes sont parfaitement synonymes.

Et aussi, même très importante que précédemment, l'Univers TOTAL: l'Ensemble de toutes les choses, est donc aussi l'Ensemble de tous les êtres est UN être parmi les autres. Mais aussi, l'Univers TOTAL, cet être est L'Etre, oui L'Etre TOTAL, L'Etre suprême! Autrement dit, c'est la être "ETRE": : U = Etre. C'est l'Univers TOTAL qui fait que les autres êtres sont des êtres.

Si l'approche de l'Univers et des choses sous l'angle du nom commun CHOSE est dite universelle, l'approche sous l'angle du verbe ETRE ou sous la notion d'ETRE est dite ontologique. Sous cet angle, la Théorie universelle des ensembles (ou Science de l'Univers TOTAL) est la Théorie ontologique des ensembles (pour plus de détails, voir Le Verba : la Théorie ontologique des ensembles, le Langage de l'ETRE).

Le mot CHOSE: le mot qui permet enfin de traiter scientifiquement toutes les choses, en particulier la question de Dieu

Cette très importante notion première de CHOSE ouvre non seulement enfin les portes du traitement scientifique de questions hier impossibles à traiter en science, mais en plus apporte la solution avec une... une simplicité biblique (c'est le cas de le dire).

Ainsi par exemple, Dieu est une chose, indépendamment de toute autre définition de ce mot, indépendamment de la question de son existence. Il est une chose du simple fait qu'on en parle, qu'on a conçu cette notion, qu'on l'a désignée par un mot. Après seulement viennent les questions de la définition de cette chose (la précision de la notion), et les discussions concernant son existence (question très rapidement réglée par le Théorème de l'Existence, le Théorème de l'Univers TOTAL ).

Le mot CHOSE: une notion récursive et générescente, le reflet de l'auto-appartenance et de la structure fractale de l'Univers TOTAL

Le très fondamental mot CHOSE est le seul qui se définit lui-même, de manière récursive. Pour s'en rendre compte, il suffit de reprendre la définition présenté plus haut: "Une CHOSE est tout ce dont on parle, tout ce que l'on conçoit, tout ce que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition, etc.".

Cette définition du mot CHOSE est récursive en ce sens qu'on utilise déjà une forme déguisée du même mot CHOSE pour l'énoncer. C'est la langue française qui déguise ici ce synonyme par le mot "CE". Autrement dit, cette définition revient à dire: "Une CHOSE est toute chose dont on parle, toute chose que l'on conçoit, toute chose que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition, etc.". On voit donc qu'il est difficile de se passer du mot CHOSE lui-même pour le définir.

Ceci n'est pas un handicap à la définition ou une pétition de principe (un cercle vicieux). Bien au contraire, c'est dans cette très spéciale caractéristique du mot chose de s'auto-définir que réside tout son intérêt, tout le secret de la recette théorématique, qui permet de se passer des axiomes, des principes et autres hypothèses. Le secret de la théorématique est de partir de notions, d'objets et d'énoncés qui s'auto-démontrent (donc qui sont automatiquement des théorèmes!) sans pour autant que cela soit une pétition de principe, une anomalie de logique! Cela s'appelle tout simplement la récursivité, et le secret réside dans la propriété récursive du mot CHOSE.

Voici par exemple différentes façons de définir la seule et même notion d'ENSEMBLE ou de CHOSE, qui révèle leur récursivité, leur générescence, le lien très étroit entre les deux notions, mais aussi le lien avec le modèle qu'est l'arbre:

1- Définition récursive et générescente (ou arborescente ou fractale) de la notion de CHOSE

"Une CHOSE est une chose constituée d'autres choses appelées ses éléments"

2- Définition récursive, ensembliste et générescente (ou arborescente ou fractale) de la notion de CHOSE

"Une CHOSE est un ensemble constitué d'autres choses appelées ses éléments"

3- Définition ensembliste et générescente (ou arborescente ou fractale) de la notion de CHOSE

"Une CHOSE est un ensemble constitué d'autres ensembles appelées ses éléments"

4- Définition universelle (ou chosique ou physique) et générescente (ou arborescente ou fractale) de la notion d'ENSEMBLE

"Un ENSEMBLE est une chose constituée d'autres choses appelées ses éléments"

5- Définition récursive, universelle (ou chosique ou physique) et générescente (ou arborescente ou fractale) de la notion d'ENSEMBLE

"Un ENSEMBLE est une chose constituée d'autres ensembles appelés ses éléments"

6- Définition récursive et générescente (ou arborescente ou fractale) de la notion d'ENSEMBLE

"Un ENSEMBLE est un ensemble constitué d'autres ensembles appelées ses éléments"

La définition est dite récursive si la notion définie (que ce soit celle de chose ou d'ensemble) fait référence à elle-même.

Elle est dite universelle si elle repose sur la notion de chose (dans le cas où c'est la notion d'ensemble que l'on définit). Elle est dite alors aussi chosique ou physique (physique parce que c'est la définition des ensembles de l'Univers, de la réalité).

La définition est dite générescente (ou arborescente ou fractale) si la notion de chose ou d'ensemble définie et ses éléments dont il est question obéissent au même modèle, soit le modèle Chose soit le modèle Ensemble. Dans ce cas, la définition est comme cette définition d'un arbre: "Un arbre est une chose constituée d'autres arbres appelés ses branches". Ou cette notion plus générale et plus universelle de la notion d'arbre: "Un arbre est une chose constituée d'autres choses appelés ses branches". Ou cette définition très arborescente (ou générescente) de la notion de chose: "Une chose est un arbre constitué d'autres choses appelés ses branches.

La notion de chose et celle d'ensemble sont des facettes de la même notion, car tout ensemble est une chose (évidemment); et réciproquement toute chose est un ensemble, car au pire la chose est un ensemble dont l'unique constituant est la chose elle-même. C'est pourquoi donc la générescence de la notion de chose est aussi celle de la notion d'ensemble et vice-versa. Chacune des notions se définit à partir de l'autre, donc se définit à partir d'elle-même (récursivité).

C'est là où réside tout le secret et toute la puissance de la Théorie théorématique des ensembles, qui constitue donc un changement radical de paradigme par rapport aux théories axiomatiques des ensembles. La notion d'ensemble et la science en général n'a pas besoin d'axiomes. Elle a juste besoin de reposer sur la notion de CHOSE et sur son paradigme très naturel qu'est l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses.

Sommaire du sous-titre

• - Ensemble, Elément, Univers, Existence, etc.
• - Le Théorème de l'Existence, le Théorème de l'Univers TOTAL, le Théorème fondamental de la Théorématique
• - La Négation (absolue) est la cause fondamentale de tous les paradoxes. La Théorématique est la vaie solution aux paradoxes
• - La Théorématique, l'Alternation, la Logique Alternative ou Logique Fractale

Ensemble, Elément, Univers, Existence, etc.

A partir du mot CHOSE toutes les notions de la Science de l'Univers TOTAL se définissent de proche en proche, et en particulier l'Univers TOTAL. Puis les propriétés et les lois de l'Univers TOTAL se déduisent automatiquement. Cette méthode est ce que nous appelons la théorématique (par opposition à l'axiomatique). La voici maintenant résumée:

1) Démarrer la science avec le mot clef le plus général et le plus universel qui soit: le mot CHOSE!

2) Définir aussitôt la très importante notion d'ENSEMBLE et d'ELEMENT à partir du mot CHOSE: "Un ensemble est une chose constitué d'autres choses appelées ses éléments".

3) Définir la très importante notion d'Univers TOTAL à partir des notions de CHOSE et d'ENSEMBLE: "L'Univers TOTAL est l'Ensemble de toutes les choses".

4) Définir la très importante notion d'EXISTENCE à partir de la notion d'Univers TOTAL et de la notion d'ELEMENT: "EXISTER, c'est être un élément de l'Univers TOTAL". Autrement dit, EXISTER, au sens le plus absolu du terme, c'est tout simplement être CHOSE! C'est ici que réside l'une des forces de ce mot CHOSE. Elle permet de définir la notion d'existence d'une manière scientifique, très rigoureuse, et absolue! Il en resulte immédiatement que, en ce sens de la notion d'existence le Théorème de l'Existence: "Toute choses existe dans l'Univers TOTAL".

5) Et enfin définir toute autre notion à partir de la notion Univers TOTAL et de toutes les notions définies avec le mot CHOSE, et ainsi de suite.

Et au fur et à mesure, on étudie simplement les propriétés des notions ou des objets ainsi définis, on déduit les théorèmes (comme par exemple le Théorème de l'Existence) et les lois à partir de ces définitions, et la science se fait toute seule, sans avoir à ajouter le moindre axiome, le moindre principe, la moindre hypothèse!

Le Théorème de l'Existence, le Théorème de l'Univers TOTAL, le Théorème fondamental de la Théorématique

La Négation (absolue) est la cause fondamentale de tous les paradoxes. La Théorématique est la vaie solution aux paradoxes

Tous les paradoxes de la théorie des ensembles et des sciences en général ont une seule cause ignorée jusqu'ici: la négation absolue, le fait de dire qu'une chose n'existe pas, n'est pas vrai ou est impossible dans l'Univers (voir L'Axiome de Non-Existence: le plus fondamental et le plus vicieux de tous les paradoxes). Quand une chose est ainsi niée de manière absolue, elle ne laisse la place à la véracité, à la réalité ou à l'existence de son contraire. L'Univers TOTAL le contexte par excellence où toute chose coexiste avec son contraire, toute vérité coexiste avec son contraire. C'est pourquoi une chose comme l'Univers TOTAL ou les ensembles qui sont équivalents à l'Univers TOTAL est l'objet paradoxal par excellence selon la négation absolue. Mais le vrai paradoxe est tout simplement cette négation.

Dans la classique théorie axiomatique des ensembles (celle de Zermelo-Fraenkel ou ZF), un problème (dû à la négation absolue donc) se pose avec l'ensemble de tous les ensembles qui n'est qu'une autre façon de parler de l'Ensemble de toutes les choses, à savoir donc l'Univers TOTAL. Plus indirectement, on a le Paradoxe de Russell (qui concerne l'ensemble de tous les ensembles non-auto-appartenants) ou le Paradoxe de Burali-Forti (qui concerne l'ensemble de tous les ordinaux ou Dernier ordinal).

Le Paradoxe de Russell ou Paradoxe de l'ensemble des ensembles non-auto-appartenants

Le paradoxe de Russell est le problème suivant: "Un ensemble A a pour éléments les ensembles non-auto-appartenants, c'est-à-dire qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes. La question est de sa voir si cet A appartient ou non à lui-même."

Si A appartient à lui-même, alors il est un des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes, puisque par définition il est l'ensemble justement de tels ensembles. Donc il n'appartient pas à lui-même... Mais s'il n'appartient pas à lui-même, il répond exactement à la définition de ses éléments, donc il est l'un d'eux, donc il appartient à lui-même. D'où le paradoxe.

Plus schématiquement, l'ensemble A est défini par l'équivalence logique suivante:

X ∈ A <=> X ∉ X
(lire "X apprtient à A si et seulement si X n'appartient pas à X)

Donc, pour répondre à la question concernant A lui-même, il faut remplacer X par A dans l'équivalence, et cela donne:

A ∈ A <=> A ∉ A
(lire "A apprtient à A si et seulement si A n'appartient pas à A)

C'est donc cela qu'on a appelé le célèbre Paradoxe de Russell. Et un objet mathématique ou scientifique qui donne lieu à ce genre d'équivalence logique entre un énoncé et son contraire est qualifié de paradoxal ou de contradictoire dans la logique scientifique actuelle. Mais le problème est simplement que l'on fonctionne dans des paradigmes trop étroits pour traiter de nombreux objets et situations de l'Univers TOTAL, à commencer par l'Univers TOTAL lui-même. On travaille dans le paradigme de l'Identité, on fait la science avec la négation absolue, on raisonne avec une logique négative, c'est-à-dire qui repose sur le principe de non-contradiction d'Aristote (un mauvais principe de non-contradiction, le bon principe étant la Loi de Séparation et d'Union des contraires).

C'est dans le paradigme de l'Equivalence qu'il faut faire la science. On travaille alors avec une négation relative que nous appelons l'alternation, et la logique qui y correspond est la surpuissante logique alternative ou logique cyclique. Dans ce paradigme, l'ensemble A est un exemple d'objet que nous appelons un objet alternatif.

Un objet est alternatif:
- s'il présente deux aspects contraires, comme par exemple le côté Pile et Face d'une même pièce de monnaie;
- s'il est un système où il se produit aussi bien les événements que les événements contraires, ce qui est le cas de l'Univers où Il pleut par exemple ici et Il ne pleut pas ailleurs, où la Pluie et le Beau temps alternent dans l'espace et dans le temps;
- ou s'il est tout simplement un objet dynamique!

Voici maintenant un très important autre exemple d'objet alternatif: que l'on regarde le très pédagogique Triangle de Sierpinski, une structure fractale. Il a une logique qui est tout simplement l'une des infinités de solutions (les vraies!) au prétendu Paradoxe de Russell:

On a ici deux versions du seul et même Triangle de Sierpinski appelé A, le grand (vert) et le petit (rouge). A appartient à lui-même au sens de l'Equivalence (conception très large de l'égalité très fondamentale en logique fractale ou cyclique), car le grand modèle et le petit modèle sont équivalents. Mais A n'appartient à lui-même au sens de l'Identité (conception très restreinte de l'égalité, la conception actuelle, étroitement associée au problème de la négation absolue), car que ce soit le petit modèle ou le grand modèle, il n'est pas plus petit que lui-même, mais juste identique à lui-même. Autrement dit, il n'y a pas de version du petit modèle (comme aussi du grand modèle) qui soit strictement à l'intérieur de lui-même. Il existe des modèles strictement à l'intérieur, mais ils sont évidemment plus petits. Si donc l'on ne raisonne qu'en terme d'Identité, seule la non-appartenance est vraie ici, donc c'est un paradoxe de dire que l'apprtenance est vraie aussi. Mais si l'on raisonne en terme d'équivalence, les deux deviennent vrais.

C'est l'un des exemples qui montre que c'est l'étroitesse du paradigme (celui de l'identité) qui engendre le paradoxe, et non pas le fait que d'un point de vue logique les deux contraires ne peuvent pas être vrais. Il existe tout à fait des logiques (ici la logique fractale) où les deux contraires sont vrais sans qu'il y ait le moindre paradoxe. Autrement dit, la négation "A N'APPARTIENT PAS...", "A N'EXISTE PAS...", et plus généralement tout simplement "A N'EST PAS...", est absolue dans le paradigme de l'Identité, car il n'existe aucune possibilité que son contraire "A APPARTIENT...", "A EXISTE...", "A EST...", soit vraie aussi. Mais dans la paradigme de l'Equivalence, cette alternative existe toujours, ce qui fait que la négation est juste relative.

Une forme populaire du Paradoxe de Russell est le Paradoxe du barbier: "Le barbier d'un village nommé Antoine (abrégé A) rase tous les hommes du villages qui ne se rasent pas eux-mêmes. Est-ce que ce barbier A se rase à lui-même?"

Ici aussi, un raisonnement simple permet de voir que si si l'on dit oui, alors on doit dire non, et si l'on dit non, alors on doit dire oui. Comme pour le Triangle de Siperpinski où le problème est simplement résolu en considérant deux rôles ou deux versions du même objet qui entretiennent entre elles une relation d'équivalence (chaque version ne pouvant entretenir qu'une relation d'identité avec elle-même), ici aussi il faut simplement distinguer deux rôles du même Antoine: le barbier et le citoyen ordinaire du village. En tant que citoyen, il ne se rase pas lui-même mais a besoin du barbier, et en tant que barbier il se rase pas lui-même. Cela n'est pas paradoxal au sens d'une impossibilité logique, mais cela est paradoxal au sens simplement que deux aspects contraires se trouvent réunis dans une même personne ou dans une même chose.

On peut en tant que citoyen payer certains frais comme tout le monde, enregistrés par le service adéquat (par exemple le frais de carburant payés à la station service), mais en tant que privilégié se voir rembourser ces frais par un autre service (son patron, les services fiscaux ou autre). Donc on paie, et finalement on ne paie pas. On ne paie pas, mais finalement on paie.

Contrairement à la manière dont les choses ont été conçues jusqu'ici et en particulier à la manière dont la logique fut pratiquée, une équivalence logique entre un énoncé et son contraire n'est pas nécessairement un paradoxe, ou le fait qu'une chose et son contraire soient vraies toutes les deux!

Pour reprendre la situation d'Antoine le barbier du village, ajoutons le problème suivant: Antoine a l'habitude de jouer aux échecs seul, c'est-à-dire contre un aversaire qui est lui-même. Il joue son coup avec les blancs, puis passe de l'autre côté de l'échiquer pour jouer son coup avec les noirs, etc. Et Antoine dit: "Si je gagne la partie, alors je perds la partie; et si perds la partie, alors je gagne la partie". Voilà une sitation qui est un paradoxe de type Russell si l'on raisonne avec logique l'identité seule. Mais ici comme dans les autres exemple, il y a un objet qui a deux rôles ou deux versions, qui entretiennent de ce fait une relation d'équivalence. Au sens de l'identité il est impossible de gagner et de perdre en même temps, mais au sens de l'équivalence c'est possible: on gagne sous un rôle, et on perd de ce fait sous l'autre rôle et vice-versa.

Le Paradoxe de Burali-Forti ou Paradoxe de l'Ensemble de tous les ordinaux ou Paradoxe du Dernier ordinal

Le Paradoxe de Burali-Forti est celui de l'ensemble de tous les ordinaux. Un ordinal (dans la conception classique de la notion, car cette notion, comme celle de cardinal, se simplifie considéralement dans le paradigme de l'Univers TOTAL) est la généralisation de la notion d'entier naturel. Dans la conception classique ( le paradigme de l'Identité), un ordinal est non-auto-appartenant (il n'est pas élément de lui-même), ce qui complique inutilement les choses. Mais il est à la fois auto-appartenant et non-auto-appartenant dans le paradigme de l'Equivalence (exactement comme la fractale de Sierpinski vue ci-dessus), ce qui simplifie considérabement les choses.

Dans la conception classique, pour un ordinal α (lire "alpha minuscule"), on a donc seulement cette vérité:
α ∉ α (à lire donc "α n'est pas un élément de α")

Et dans la conception classique comme dans la nouvelle, l'ensemble de tous les ordinaux, appelons-le ω (lire "oméga minuscule"), doit être lui-même un ordinal, et alors il est le plus grand de tous, le dernier, puisqu'il est leur ensemble.

Mais c'est là où le problème se pose avec la conception classique, le paradigme de l'Identité. Ce qui pose problème est exactement qu'il soit un ordinal. En effet, étant l'ensemble de tous les ordinaux, il est donc un élément de lui-même (ω ∈ ω), puisqu'il est aussi un ordinal. Or il est interdit dans la conception classique des ordinaux qu'un ordinal soit élément de lui-même, il doit obéir uniquement à la loi α ∉ α, c'est-à-dire donc ω ∉ ω. D'où le paradoxe de Burali-Forti.

En réalité, ce paradoxe n'est rien d'autre que le Paradoxe de Russell. C'est parce qu'on fonctionne dans un paradigme ou les notions d'ensemble et d'ordinaux sont séparés (c'est-à-dire où un ordinal est un ensemble mais où un ensemble n'est pas forcément un ordinal) que les deux problèmes apparaissent comme différents. Sinon, ce problème en réalité le même que celui de l'ensemble des ensembles non-auto-appartenants, c'est-à-dire le Paradoxe de Russell. C'est le paradigme de le paradigme de l'Equivalence qui permet de découvrir que les ensembles non-auto-appartenants dont on parle dans le Paradoxe de Russell sont les ordinaux.

Nous avons posé le problème et donné sa solution en même temps. Il faut tout simplement raisonner dans le paradigme de l'Equivalence ou de la Structure fractale, et le problème est résolu, comme nous l'avons illustré dans le diagramme au début de ce sous-titre. ce diagramme montre ω élément de lui-même au sens de l'équivalence. Il ne l'est pas au sens de l'identité seule mais l'est au sens de l'équivalence. Non seulement cela, la logique fractale montre l'équivalence "0 = ω", qui veut dire que le Premier ordinal ou le Vide est aussi le Dernier ordinal ou le Plein. L'Algèbre de l'Equivalence (ou Algèbre de la Structure Fractale ou Algèbre du Cycle) est infiniment plus puissance et plus féconde que l'actuelle Algèbre de l'Identité.

La Théorématique, l'Alternation, la Logique Alternative ou Logique Fractale

La Théorématique ou le paradigme de l'Univers TOTAL implique de ne plus raisonner dans la traditionnelle logique classique, et plus généralement en logique négative, appellation globale que nous donnons à toutes les logiques fondées sur le Principe de non-contradiction, tel qu'Aristote l'a formulé, et surtout tel qu'on l'a utilisé jusqu'ici. En d'autres termes, la logique négative raisonne avec l'ontologie de l'Identité, ou, ce qui revient au même, avec la très néfaste négation absolue!

La logique négative est valable uniquement dans des contextes restreints de l'Univers TOTAL, dans des situations où il faut trancher, où il faut raisonner en termes de "Vrai ou Faux" (les deux valeurs de vérités s'excluant mutuellement), de "Oui ou Non", de "Pile ou Face", etc. Mais toutes les situations de l'Univers TOTAL ne se traitent pas en terme de logique binaire tranchée! L'Univers est infiniment plus subtil que cela. Cette logique très limitée se révèle donc non seulement grossière pour étudier l'Univers, mais surtout très dangereuse, car elle conduit à NIER des existences, des possibilités, des réalités, des situations de l'Univers! C'est ainsi que de simples caractéristiques des objets dynamiques, alternatifs, apparaissent à tort dans cette logique comme des paradoxes! Mais la négation absolue est la vraie cause de tous les paradoxes de tous les temps!

Il faut désormais faire la science et raisonner dans la logique alternative, avec la négation relative, que nous appelons l'alternation. En d'autres termes, il faut faire la science maintenant avec l'ontologie de l'Equivalence, dans le paradigme de la structure fractale et du cycle.